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点O(0,0,0)を原点とする座標空間にA(4,0,0)
B(0,4,0)C(1,1,√6)とし、AB上の点をP、
OC上の点をQとするとき

①PQの最小値と、その時の点PQの座標

②OC上に点Rを三角形ABRが、正三角形となるようにとる時、点Rの座標

①だけでもいいので教えてください!
お願いします!

A 回答 (1件)


点Pを(4s,4-4s,0)、点Qを(t,t,t*√6) としてPQを計算すると
s=t=1/2 で最小√6となりました


点Rを(k,k,k*√6)として
AR=AB=4√2 から、k=-1またはk=2 となりました
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このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q数学Bベクトル

この問題はどうすればよいのでしょうか。
問題
三角形ABCの外心をOとする。3辺の長さをAB=c,BC=a,CA=bとすると,
ABベクトルとBCベクトルを用いてAOベクトルを表せ。

Aベストアンサー

ABベクトルとBCベクトルを用いてAOベクトルを表すのはバランスが悪いので、
まずはABベクトルとACベクトルを用いてAOベクトルを表すことにします。

辺ABの中点をDとすると、
ABとDOは直交するので、
AB・DO=0 (ベクトルの記号は省略します)

DO=AO-AD=AO-AB/2
なので、
AB・(AO-AB/2)=0
すなわち、
AB・AO=|AB|^2/2=c^2/2
辺ACについても同様なので、
AC・AO=|AC|^2/2=b^2/2

AO=sAB+tAC
とすると、
AB・AO=sAB・AB+tAB・AC
AC・AO=sAC・AB+tAC・AC
なので、
sc^2+t(AB・AC)=c^2/2
s(AB・AC)+tb^2=b^2/2
これはs,tの一次連立方程式なので、これを解くと、
s=b^2{(AB・AC)-c^2}/{2((AB・AC)^2-b^2c^2)}
t=c^2{(AB・AC)-b^2}/{2((AB・AC)^2-b^2c^2)}

一方、余弦定理から、
a^2=b^2+c^2-2bccos(∠BAC)=b^2+c^2-2(AB・AC)
より、
AB・AC=(b^2+c^2-a^2)/2
これをs,tの式に代入して整理すると、
s=b^2(b^2-c^2-a^2)/{(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(b-c-a)}
t=c^2(c^2-a^2-b^2)/{(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(b-c-a)}

最初の問題に戻って、ABベクトルとBCベクトルを用いてAOベクトルを表すと、
AO=sAB+tAC=sAB+t(AB+BC)=(s+t)AB+tBC

ABベクトルとBCベクトルを用いてAOベクトルを表すのはバランスが悪いので、
まずはABベクトルとACベクトルを用いてAOベクトルを表すことにします。

辺ABの中点をDとすると、
ABとDOは直交するので、
AB・DO=0 (ベクトルの記号は省略します)

DO=AO-AD=AO-AB/2
なので、
AB・(AO-AB/2)=0
すなわち、
AB・AO=|AB|^2/2=c^2/2
辺ACについても同様なので、
AC・AO=|AC|^2/2=b^2/2

AO=sAB+tAC
とすると、
AB・AO=sAB・AB+tAB・AC
AC・AO=sAC・AB+tAC・AC
なので、
sc^2+t(AB・AC)=c^2/2
s(AB・AC)+tb^2=b^2/2
これ...続きを読む

Q3の倍数でない自然数の列

自然数の数列
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ,,,
から
3の倍数の数列
3 6 9 12 15 18 21 ,,,
を取り除くと、
3の倍数でない自然数の列
1 2 4 5 7 8 10 11 ,,,
が得られますが、その一般項を求めたいのですが。

数列をa[n]とすると、
a[n] = 3+a[n-2]
という漸化式が成り立つことは分かりましたが、どう解けばよいのでしょうか?

一般に、自然数の等差数列や等比数列やその他の有名数列があったとき、それら取り除いた数列の一般項はどのように求めればよいのでしょうか?
そのほか、関連する話題があればいろいろ教えてください。

Aベストアンサー

a[n] = n+[(n-1)/2]
ちなみに
4の倍数を除いた場合は
a[n] = n+[(n-1)/3]
Pの倍数を除いた場合は
a[n] = n+[(n-1)/(P-1)]


 

Qベクトルの問題

三角形OABがあり、OA=a,OB=bとおくとき
|a|=1,|a+b|=|2a+b|=√7
が成り立つ。

(1)|AB|を求めよ。

(2)点Pが三角形OABの外接円上を動くとき、三角形PABの面積の最大値を求めよ。

(3)点QがOを中心とし、半径|OA|の円上を動くとき、三角形QABの面積の最大値を求めよ。

この問題の解説よろしくお願いします。

(1) は√13という値を求めることができました。

Aベストアンサー

(1) |a+b|^2=(√7)^2 より
|a|^2+2ab+|b|^2=7
|a|=1, |a+b|=√7 を代入して
1+2ab+|b|^2=7
2ab+|b|^2=6 ・・・・・・ ①
|2a+b|^2=(√7)^2 より
4|a|^2+4ab+|b|^2=7
|a|=1, |a+b|=√7 を代入して
4+4ab+|b|^2=7
4ab+|b|^2=3 ・・・・・・ ②
①-②より
-2ab=3
ab=-(3/2)
① に代入して
-3+|b|^2=6
|b|^2=9
|b|>0 より
|b|=3
よって
|AB|^2=|b-a|^2=|b|^2-2ab+|a|^2=9+3+1=13
|AB|>0 より
|AB|=√13

(2) ab=|a||b|cos∠AOB より
-(3/2)=1・3・cos∠AOB
cos∠AOB=-(1/2)
0°<∠AOB<180° より
∠AOB=120°
∠AOB が鈍角だから
△PABの面積を最大にする点Pは、
辺ABの垂直二等分線と△OABの外接円の交点のうち、Oと反対側にある点である。
四角形OAPBがこの円に内接するから
∠APB=60°
よって、△PABは正三角形になる。
したがって、
△PAB=(1/2)・√13・√13・sin60°=(1/2)・√13・√13・(√3)/2=(13√3)/2

(3) △QABの面積を最大にする点Qは、
Oを通り、辺ABに垂直な直線と円O交点のうち、点Oと同じ側にある点が点Qである。
Oから辺ABに引いた垂線の足をHとすると
OH=ta+(1-t)b
OH⊥AB より
OH・AB=0
(ta+(1-t)b)・(b-a)=0
tab-t|a|^2+(1-t)|b|^2-(1-t)ab=0
-(3/2)t-t+9(1-t)+(3/2)(1-t)=0
-(3/2)t-t+9-9t+(3/2)-(3/2)t=0
13t=21/2
t=21/26
よって
OH=(21/26)a+(5/26)b
これより
|OH|^2=|(21/26)a+(5/26)b|
=(1/26)^2(441|a|^2+210ab+25|b|^2)
=(1/26)^2(441-315+225)
=351/(26)^2
|OH|> より
|OH|=(3√39)/26
QH=QO+OH=1+(3√39)/26=(26+3√39)/26

したがって、
△QAB=(1/2)・AB・QH
=(1/2)・√13・(26+3√39)/26
=(26√13+39√3)/52
(=(√13)/2+(3√3)/4)

(1) |a+b|^2=(√7)^2 より
|a|^2+2ab+|b|^2=7
|a|=1, |a+b|=√7 を代入して
1+2ab+|b|^2=7
2ab+|b|^2=6 ・・・・・・ ①
|2a+b|^2=(√7)^2 より
4|a|^2+4ab+|b|^2=7
|a|=1, |a+b|=√7 を代入して
4+4ab+|b|^2=7
4ab+|b|^2=3 ・・・・・・ ②
①-②より
-2ab=3
ab=-(3/2)
① に代入して
-3+|b|^2=6
|b|^2=9
|b|>0 より
|b|=3
よって
|AB|^2=|b-a|^2=|b|^2-2ab+|a|^2=9+3+1=13
|AB|>0 より
|AB|=√13

(2) ab=|a||b|cos∠AOB より
-(3/2)=1・3・cos∠AOB
cos∠AOB=-(1/2)
0°<∠AOB<180° より
∠AOB=120°
∠AOB が鈍角だから
△PABの面積を...続きを読む

Q高校の教科書は・・・

この度、大学に合格しました。今まで数学や英語の質問に回答して下さった方々、本当にありがとうございました。
さて、質問なのですが高校の教科書は処分してしまっても良いのでしょうか?大学の勉強でやはり必要でしょうか?私は環境問題について学ぶのですが、化学や生物の教科書は取っておいた方がいいでしょうか?
回答、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

合格おめでとうございます!

私は生物系の学科で大学生をしているものです。
文部科学省認定の教科書はあまり要らないと思います。滅多に使いません。
しかし自分専門分野の教科書は残してはおきましょう(役立つかもしれませんので)。

化学や生物の資料集に限っては必要だと思いますのでいい選択だと思います。
他の教科書はダンボール行きか廃棄でいいと思います。
英語の単語帳は使えますが…。

私の場合高校時代の生物教師が特殊だったので、その授業ノートも役立ててます。

大学に入るとレポートがよく要求されます。そのとき自分の慣れ親しんだ(?)資料集やノートは意外と参考になります。

Q空間ベクトル

Oを原点とする座標空間に、3点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)を考える。
線分ABをa:1-aに内分する点をP,線分PCをb:1-bに内分する点をQとする。
(ただし,0<a<1,0<b<1である)
また、点D(2,2,3)を通り、ベクトルV(u)=(-1,-1,-1)に平行な直線をL
とする。

(1)V(OQ)をa,bを用いて表せば
V(OQ)=((ア-a)(イ-b),ウエ(オ-b),カキ)である。
(2)L上の点をRとすると、V(OR)は実数tを用いて
V(OR)=(ク-t,ケ-t,コ-t)
と表せるから、QがL上にあるとき
a=サ/シ,b=ス/(セソ)
であり、
このときP,Qの座標は
P=(タ/チ,ツ/テ,ト)
Q=(ナ/(ニヌ),ネ/(ノハ),(ヒフ)/(ヘホ))

(1)V(OP)=aV(OB)+(1-a)V(OA)
=(1-a)(1,0,0)+a(0,2,0)
=(1-a,2a,0)
V(OQ)=(1-b)V(OP)+bV(OC)
=(1-b)(1-a,2a,0)+b(0,0,3)
=((1-b)(1-a),2a(1-b),3b)
までしか分かりませんでした。
よろしくお願いします。

Oを原点とする座標空間に、3点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)を考える。
線分ABをa:1-aに内分する点をP,線分PCをb:1-bに内分する点をQとする。
(ただし,0<a<1,0<b<1である)
また、点D(2,2,3)を通り、ベクトルV(u)=(-1,-1,-1)に平行な直線をL
とする。

(1)V(OQ)をa,bを用いて表せば
V(OQ)=((ア-a)(イ-b),ウエ(オ-b),カキ)である。
(2)L上の点をRとすると、V(OR)は実数tを用いて
V(OR)=(ク-t,ケ-t,コ-t)
と表せるから、QがL上にあるとき
a=サ/シ,b=ス/(セソ)
であり、
このときP,Qの座標は
P=...続きを読む

Aベストアンサー

V(O R)=V(O D)+V(DR)と表せて、
V(DR)はV(u)=(-1,-1,-1)に平行なので、
実数tを用いて、t*(-1,-1,-1)とできます。
すると、
V(O R)=・・・

QがL上にあるときは~ というのは、上で求めた
V(O R)のRがQになったとみれば、
(1)の結果から、連立方程式が立てられて
a,bが求められます。

Q高校生です。英語の答え合わせをしてほしいです。

⑴I need all the chairs ( taken ) to the office now.
・take
・taken
・to take
・to be taking
椅子は座られるものだからtakenという考えで大丈夫ですか?
訳がよく分からなくなってしまいます。

⑵The (streams) around here (used to have) an abundance (of fish), but pollution (has been spoiled) them.
has been spoiled → has spoiled

⑶The committee did not think that Mike was quite as qualified for the scholarship as the successful candidate (was).
・did
・does
・was
・would
「その委員会は成功した候補者と同じくらいマイクは留学の資格があると思わなかった」
で大丈夫ですか?
Mike was に合わせてwasが答えという考えで大丈夫ですか?

⑷ Tony (goes) to see his parents (on Sundays) and he usually (is taking) them out (to) a nearby restaurant for lunch.
is taking → takes

⑹ She got hurt by what you said. It would have been wiser for you (to have left it) unsaid.
・to be left
・to have left it
・to have left
・to have been left it
「あなたが言ったことに彼女は傷つけられた。言わなかった方が賢明だった。」
で大丈夫ですか?itは必要ですか?

⑺The door is (to/wide/pass/enough/allow/through/a wheelchair/to).
wide enough to allow a wheelchair past through

⑻雨がやむまで待つより仕方ないだろう。
We (until/have/to/wait/stops/no/the rain/but/choice).
have to wait but no choice until the rain stops

⑼政府は現在の生活水準を維持するのに必要なことは何でもするだろう。
The government will take (action/is/maintain/necessary/the/to/whatever) present standard of living.
whatever action is necessary to maintain the

(10)Without Chinese culture,Japanese culture (would not be) what it is today.
・are not
・had not been
・were not
・would not be
で合ってますか?どうして他のものがダメなのか分かりません。


質問が多いのですがどうか正誤と解説をお願いします!!

⑴I need all the chairs ( taken ) to the office now.
・take
・taken
・to take
・to be taking
椅子は座られるものだからtakenという考えで大丈夫ですか?
訳がよく分からなくなってしまいます。

⑵The (streams) around here (used to have) an abundance (of fish), but pollution (has been spoiled) them.
has been spoiled → has spoiled

⑶The committee did not think that Mike was quite as qualified for the scholarship as the successful candidate (was).
・did
・does
・was
・w...続きを読む

Aベストアンサー

(1) 正解
needという動詞の用法を辞書で確認して下さい.
     need A done「Aを…してもらう必要がある」
ですから,意味は
    「椅子を全部すぐに会社まで持っていってもらう必要がある」

(2) 正解-wonderful !!

(3) 正解
考え方はOKです.英文の直訳は
    「委員会はマイクが合格者と同じほどに奨学金の資格があるとは考えなかった」
ですが,要するに
    「委員会はマイクが奨学金の合格者としての資格があるとは考えなかった」
ということです.

(4) 正解

(5) なし

(6) 正解-wonderful !!
  和訳もOKです.少し気分を出せば,
 「もー!! あの子,あんたの言うことで傷ついちゃったじゃない.言わなきゃいいものを・・・!!」
という感じでしょうか・・・.なお,it (= what you said) は必要です.

(7) 正解-wonderful !!

(8) 残念!!! ちょっと違います.正解は
    We have no choice but to wait until the rain stops.
ここでは
     have no choice but to do「…する他はない」「…せざるを得ない」
というパターン表現を覚えましょう.butには「…のほかは」「…を除いて」という意味があります.

(9) 正解-wonderful !!

(10) 正解
仮定法の文です.withoutを使っているが,ifを使えば,
     If it were not for Chinese culture「中国文化というものがなければ」
です.したがって,帰結文には助動詞の過去形が入ってきます.その時点で選択肢はwould not beに絞られます.

質問者さんが何年生か存じませんが,非常に優秀な高校生だと感じました.これからも努力を継続されて下さい.

(1) 正解
needという動詞の用法を辞書で確認して下さい.
     need A done「Aを…してもらう必要がある」
ですから,意味は
    「椅子を全部すぐに会社まで持っていってもらう必要がある」

(2) 正解-wonderful !!

(3) 正解
考え方はOKです.英文の直訳は
    「委員会はマイクが合格者と同じほどに奨学金の資格があるとは考えなかった」
ですが,要するに
    「委員会はマイクが奨学金の合格者としての資格があるとは考えなかった」
ということです.

(4) 正解

(5) なし

(6) 正...続きを読む

Q次の日本語を英訳してください。 (1) 多くのことわざは世代から世代へと受け継がれてきた。ことわざは

次の日本語を英訳してください。

(1) 多くのことわざは世代から世代へと受け継がれてきた。ことわざはそれを使用する人々の習慣について教えてくれる。

(2) もしこの計画が実現すれば、 人間と機械との間にもはや明確な違いはなくなるだろう。

(3) 音楽がなかったら、私の子供時代はもっとあじけないものになっていただろう。

Aベストアンサー

(1) 多くのことわざは世代から世代へと受け継がれてきた。ことわざはそれを使用する人々の習慣について教えてくれる。
Many proverbs have been handed down from generation to generation. The proverbs(= They も可) tell us about the habits and customs of the people who cite them.
** be handed down=受け継げられる
** from generation to generation=代々
** (habits and) customs ← ひとつでも良い
** cite =引用する、use でも良い

(2) もしこの計画が実現すれば、 人間と機械との間にもはや明確な違いはなくなるだろう。
If this plan is realized, there will be no clear difference(s) any more between human beings and machines.
** not ~ any more =もはや~ない ← no clearer difference(s) だけでも可。
** there will be は we will see でも可。

(3) 音楽がなかったら、私の子供時代はもっとあじけないものになっていただろう。
Without music, my childhood would have been more colorless.
** colorless は dull でも可。

(1) 多くのことわざは世代から世代へと受け継がれてきた。ことわざはそれを使用する人々の習慣について教えてくれる。
Many proverbs have been handed down from generation to generation. The proverbs(= They も可) tell us about the habits and customs of the people who cite them.
** be handed down=受け継げられる
** from generation to generation=代々
** (habits and) customs ← ひとつでも良い
** cite =引用する、use でも良い

(2) もしこの計画が実現すれば、 人間と機械との間にもは...続きを読む


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