中心(a.b) 半径2の円をCとする 円A x ²＋y ²＝9と円Cとの共有点を通る直線の 方程式が

中心(a.b) 半径2の円をCとする
円A x ²＋y ²＝9と円Cとの共有点を通る直線の
方程式が6x＋2y−15＝0となるような(a.b)を求めよ
という問題です。
私は円Cの方程式を(x-a) ²＋(y-b) ²＝4として
円Aと円Cの共有点を通る方程式が
K(x ²＋y ²−9) ＋ (x-a) ²＋(y-b) ²ー4＝0でありこれが
6x＋2yー15＝0に一致すると考えてました。
よって(K＋1) x ²＋(K＋ 1) y ²−2axー2ayー9k
＋a ²＋b ²ー4＝6x＋2yー15
となり係数を比較してK＝ー1 a＝ー3 b＝ー 1
だと思いました。だけど解答では
円Aと6xー2yー15＝0 の共有点を円Cが通ると考えています。そして解答は(a.b) ＝(3.1) .(3／2. 1/２)です
私のやり方のどこが間違っているのか教えてください。青チャート2のex68の問題です。

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます2の考え方を初めて知りました。
  2次以上の方程式でも左辺と右辺が一致するようなとき単純に係数比較だけでは
  ダメなのでしょうか？

    補足日時：2018/06/05 22:48

• ありがとうございました(^｡^)

    補足日時：2018/06/06 15:11

No.3 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2018/06/05 23:44

何度もすみません。

最後の部分に関して追加です。

-------------
なお、本問で、m=-1というのは「直線を180°回転させて、一致する」場合で、m=-1/2というのは
「直線を180°回転させて、かつ、1/2に縮ませて、一致する」場合です。

なのに、あなたはm=1と仮定してしまった（つまり、直線上の各点同士が1対1にそのまま完全に
一致すると仮定して、単純に係数をイコールと置いた）ので間違えてしまった、という訳です。
これが真相です。

No.2 回答者： springside 回答日時： 2018/06/05 23:36

「式として一致する」のであれば、単純に係数をイコールと置けばいいですが、

「グラフとして一致する」のであれば、それではだめな気がします。

つまり、y=f(x)とy=g(x)がグラフとして一致するとき、mを0でない実数として、
両辺をm倍したmy=mg(x)もグラフとしては一致するので。

2次以上の場合は直線の場合と違って多分単純な係数比較で大丈夫だと思いますが（つまり
計算の結果、m=1のときのみが適する、となるかも知れませんが）、念のため上記のようなmを
導入しておく方が安全です。

いずれにせよ、直線の場合は、「直線は、その直線の方向に伸び縮みしても（また、直線上のどこか
の点を中心として180°回転させても）、結局は元の直線と一致する（だから、単純に係数をイコールと
おいてはだめ）」ということは記憶に値します。

なお、本問で、m=-1というのは「直線を180°回転させて、一致する」場合で、m=-1/2というのは
「直線を180°回転させて、かつ、1/2に縮ませて、一致する」場合です。

No.1 回答者： springside 回答日時： 2018/06/05 20:58

間違っている点：「2つの直線が一致する」という条件を、「x、yの係数と定数項が一致する」と考えている点。

←※

2つの直線が一致するというのは2つの場合があり、
　①各点同士が1対1に完全に一致する（上記の※）
　②一方の直線がその直線の方向に拡大又は縮小（180°回転する場合も含む）して、もう一方の直線と、結果として、一致する
という場合です。
なので、x、yの係数と定数項を単純にイコールで結んではいけません。それは①の場合のことであり、②の場合が抜けてしまいます。
で、正しくは、②の拡大率（に相当するもの）をmとでも置くと、以下の解答になります。

円Aと円Cの共有点を通る方程式は、定数kを用いて、k(x²+y²-9)+(x-a)²+(y-b)²-4=0と置ける。
これを変形すると、(k+1)x²+(k+1)y²-2ax-2by-9k+a²+b²-4=0
これが直線6x+2y-15=0と一致するから、係数を比較すると、mを実数として、
　x²の係数　k+1=0
　y²の係数　k+1=0
　xの係数　-2a=6m
　yの係数　-2b=2m
　定数項　-9k+a²+b²-4=-15m
となる。
k=-1であり、a=-3m、b=-mであるから、最後の式（定数項の式）に代入すると、
9+9m²+m²-4=-15m
2m²+3m+1=0
(m+1)(2m+1)=0
∴m=-1、-1/2

よって、(a,b)=(3,1),(3/2,1/2)