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ばね定数の異なる3つのバネと2つの質点の単振動に関する次の問題の解き方を教えてください。
私のやり方は,左からそれぞれの変異をx1,x2とすると
運動方程式は
左の質点
m d^2x1/dt^2 = -kx1 - a(x2 - x1)
右の質点
m d^2x2/dt^2 = -kx2 + a(x2 - x1)
と立てたのですが
そこからうまく収束できませんでした。

「ばね定数の異なる3つのバネと2つの質点の」の質問画像

A 回答 (2件)

主さんの式でa(x2 - x1)の前の符号が逆ですね。


つまり真ん中のばねの伸びx2 - x1は左の重りに右向きに力を及ぼすし
右のおもりに左向きに力を及ぼす。なので
左の質点
m d^2x1/dt^2 = -kx1 +a(x2 - x1)
右の質点
m d^2x2/dt^2 = -kx2 -a(x2 - x1) 
です。
これなら辺々加えたり引いたりして
Q1=x1+x2、Q2=x1-x2 とおけば
m d^2Q1/dt^2 = -k Q1、
m d^2Q2/dt^2 =-(k+2a)Q2
がでてくるので
選択肢の2.が答えになるのがおわかりですね。
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この回答へのお礼

たしかに力の向きが反対でした。変数変換すれば解けるのですね。ありがとうございました。

お礼日時:2018/06/10 16:40

あのね。

宿題を全部ここで質問するのかなぁ。右側の壁と一番右側のバネ k が無い問題は解けたんだよね。だって,多分,どんな教科書でもそれを最初の 2 自由度系の例にするだろうからねぇ。だったら,これも同じ方法で簡単に解けるはずですがね。それがわからないなら理解度が低いわけだから,まずは復習して実力をつけるべきです。あるいはそれができなければ単位は取れません。ここで質問して答を覚えるより,友人と教えたり教えてもらったり意見交換をする方が,よっぽど実力がつきます。
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Q2質点系とばねの問題

よくある問題なのですが式の立て方がわかりません

問題

バネ定数kのバネで結ばれた2つの質点1および2がある。
質点1および2の質量をMおよびmとする
位置をx1およびx2とする。
両質点にバネから力が作用しない際のバネの長さ(自然長)をδとする。
質点はバネの伸縮するx軸方向のみに運動するものと仮定する。

1​wwwwwwww​2
ーーーーー→x


(1)質点Aおよび質点Bの運動方程式を完成させよ
M・((d^2(x1))/(dt^2))=k(x2-x1-δ)・・(1)
m・((d^2(x2))/(dt^2))=-k(x2-x1-δ)・・(2)

とあるのですが、(1)の式の右辺の式は(2)の伸び(あるいは縮み)の量は入れなくてよいのでしょうか?それとも(1)の式で質点2は固定してたてた式と考えてよいのでしょうか?

Aベストアンサー

____OwwwwO
____x1_________x2____x
質点1の位置:x1
質点2の位置:x2
ばねの長さ:x2-x1
自然長からののび:x2-x1-δ
1が受ける力:k(x2-x1-δ)
2が受ける力:-k(x2-x1-δ)
何の問題もありません。何か勘違いしてないでしょうか?
1と2がばねから受ける力は大きさ等しく逆向きです。

Qバネでつながれた二つの球

「質量がそれぞれm1、m2(m1>m2)の二つの球をバネ定数k、自然長aの軽いバネでつなぐ(これを系Sとする)。
系Sがx軸上で自然長を保ち静止しているとき、時刻t=0にm1に瞬間的に力積を加えて速度v0を与えた。」

というような問題で、(1)の問が

「t秒後のm1、m2の位置をx1(t)、x2(t)とするとき、m1、m2それぞれについて運動方程式を書け。」

という問なのですが、考え方が分からなくて困っています。
この後にも

「系Sの重心座標をX(t)、m1に対するm2の相対座標をx(t)として、運動方程式を書き換えよ。」



「系Sの振動の周期Tを求めよ。」

などの問もあるのですが、とにかく始めでつまずいてしまい困っています。
ヒント等でも構わないので、ご回答頂けると嬉しいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

この問題は式は簡単なんですが考え方が難しいのです。
問題文のどこを見ても「~の大きさの力が加わって」とか「~の加速度で運動した」とかが書かれていないわけです。でも確かに運動をするはずです。バネでつながれているから振動しながら動いていくでしょう。
普通力学で出てくる式よりも簡単なんですが場面は難しいのです。これは私の印象です。
力は#1の回答にあるとおりです。
m2      m1(質量)
x2      x1(位置)
V2      V1(速度)
A2      A1(加速度)
○-----○  (----はバネです)
自然長a、バネ定数k、初速度v0
x1(0)-x2(0)=aです。
(右向きを正に取っています。)

運動方程式は
m1A1=-k(x1-x2-a)
m2A2=k(x1-x2-a)
力はバネが変形しているときに働きます。自然長よりも長くなっているときは物体1には左向きに、物体2には右向きに働きます。初速を右向きに与えているという場合ですからこの表現でいいと思います。これだけなんですが初めてだとけっこう考えるのが難しいです。特に符号が難しいです。(1を左に持ってくる方が逆旅区を与えたというのにうまく合っているように思いますが符号に注意がいります。やって見られるといいと思います。)

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重心の速度をVGとします。
VG=(m1v1+m2v2)/(m1+m2)=m1v0/(m1+m2)
です。ここで初速度v0が出てきます。
物体は振動しながら運動しているはずですが重心の運動が等速度ですから重心に対して振動していると考えられます。そこで重心座標と相対座標に書き換えるという考えが出てきます。相対座標は2つの立場があります。重心に対する相対座標と1に対する2の相対座標とです。2体の場合はどちらでの表現も可能です。

上の式で
A=d^2x/dt^2=A1-A2
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A=-(1/m1+1/m2)k(x-a)=-k(x-a)/μ
です。μは1と2を合わせて考えるときの有効質量です。「換算質量」といいます。
1/μ=1/m1+1/m2
μ=m1m2/(m1+m2)
です。
質量の項を左辺に持っていくと
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2つの物体の間でだけ力が働いている場合、重心座標と相対座標に変換すると2体問題が一体問題に変わります。人工衛星の運動は地球が止まっているとして考えてよいというのもこれの例です。水素原子の中での電子の運動も重心を止めて考えます。
座標形の書き換えについては力学の教科書に載っているはずです。バネでいきなり出てくるのではないはずです。

運動エネルギーの和の書き換えの質問がこのカテで過去に出ています。

この問題は式は簡単なんですが考え方が難しいのです。
問題文のどこを見ても「~の大きさの力が加わって」とか「~の加速度で運動した」とかが書かれていないわけです。でも確かに運動をするはずです。バネでつながれているから振動しながら動いていくでしょう。
普通力学で出てくる式よりも簡単なんですが場面は難しいのです。これは私の印象です。
力は#1の回答にあるとおりです。
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Q物理 ばねにつながれた二物体の運動

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教えていただきたいです。

Aベストアンサー

ここで説明すると大変なので、下記などを参照してください。手抜きですみません。

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E3%81%A8%E6%B3%A2%E5%8B%95_%E8%A4%87%E6%95%B0%E7%B2%92%E5%AD%90%E3%81%AE%E6%8C%AF%E5%8B%95

http://rokamoto.sakura.ne.jp/education/physicsI/two-body-coupled-spring-qa080724.pdf


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