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エネルギー積分とは?

運動方程式と速度のスカラー積の不定積分のことですか?数式ではどの部分を指すのでしょうか?

「エネルギー積分をする」とはこれを求めることですか?

A 回答 (1件)

たとえば質点の運動方程式の両辺に速度ベクトルをスカラー積としてかけて


両辺を時間積分すれば
一方の辺はある時間内の質点の運動エネルギーの変化、他の辺は同じ時間内の力の仕事率の時間積分
つまりは同じ時間内の力のする仕事になります。
このとき力が場所の関数でしかもポテンシャル
を持つ場合にはこの積分操作で2つの位置での運動エネルギーの差=同じ2つの位置の間の
ポテンシャルの差という重要な式が出てきます。これから力学的エネルギー保存則がでてきます。
この運動エネルギーとポテンシャルの関係式を導くことをエネルギー積分といいます。
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この回答へのお礼

なるほど!
ありがとうございます!

お礼日時:2018/06/13 19:30

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Q「エネルギー積分を使って導け」とのことなんですが・・・

私は物理学に関しては初心者なので、稚拙な表現については多少目をつぶっていただければ光栄です。



鉛直上向きのZ軸を考える一次元運動で、静止からの落下について考える。
質量がmの質点を、t=0で高さZ=hの場所に静止させてから静かに落下させる。
・・・・・・といった条件のもとで、最終的には質点のもつエネルギーについて、運動エネルギーをTとして以下のような式となるそうです。

   T + mgZ = T。 + mgZ。 = 0 + mgh = E

 これを「エネルギー積分」を使って導け、というものなのですが、
 いったいどのようにすればよいのでしょう。
 理化学辞典や物理学の辞典で「エネルギー積分」という言葉について は調べましたが、そのような単語は載っていませんでした。ますます 謎は深まるばかりです。

 どのような式を立てればいいのかが全くわかりません。
 どなたか、模範的な解答あるいは解説をよろしくお願いいたします。 

Aベストアンサー

「エネルギー積分」について説明します。力学でエネルギー積分の導き方は定石があります。たとえば、運動方程式が、
m(d^2/dt^2)z=f
であるとき、この式の両辺にdz/dtを掛けると、
1/2*m*d/dt(dz/dt)^2=fdz/dt
という式が導かれるはずです。この両辺を変数tで積分したとき、左辺はTになりますね。そして、積分定数をEとします。これがエネルギー積分というものです。

以上のことを参考にして、質問された問題について、ご自分で計算してみて下さい。

Qエネルギー積分の意味

エネルギー積分の意味
 エネルギー積分を導くのに
∫Fdx = ∫m・a・dx ・・・・・・・・・・・・・・(1)
   = ∫m・dv/dt・dx/dt・dt
   = ∫m・dv/dt・v・dt・・・・・・・・・(2)
   = ∫m・v・dv ・・・・・・・・・・・・・・(3)
   = 1/2m・v^2+C
のような解説が参考書に載っていました。置換積分を使えば形式的にこうなるのはわかるのですが、本来の(1)の積分の意味がよくわかりません。左辺は仕事を表すのは理解できますが、右辺は素直に解釈すれば「加速度を空間で積分?」ということになって、なぜそれが運動エネルギーにつながるかがどうもイメージが湧かないのです。イメージが湧かないといえば変形の途中で表れる(3)もそうで、数学的には単なる1次関数の積分ですが、物理的には「速度を速度で積分?」ということになりそうで、これまたよくわかりません。(3)は
 d(v/2)^2/dt = v・dv/dt
を(2)に代入すれば
 ∫m・d(v/2)^2/dt・dt = 1/2m・v^2+C
となり、(3)になるのを避けられますが単に数式をこね回しているだけのような気もします。
 加速度を空間で積分、速度を速度で積分というのはどうすれば納得できるのでしょう。

エネルギー積分の意味
 エネルギー積分を導くのに
∫Fdx = ∫m・a・dx ・・・・・・・・・・・・・・(1)
   = ∫m・dv/dt・dx/dt・dt
   = ∫m・dv/dt・v・dt・・・・・・・・・(2)
   = ∫m・v・dv ・・・・・・・・・・・・・・(3)
   = 1/2m・v^2+C
のような解説が参考書に載っていました。置換積分を使えば形式的にこうなるのはわかるのですが、本来の(1)の積分の意味がよくわかりません。左辺は仕事を表すのは理解できますが、右辺は素直に解釈すれば「加速度を空間で積分?」ということになって、な...続きを読む

Aベストアンサー

ああ、積分の意味ですね。

>∫Fdx = ∫m・a・dx ・・・・・・・・・・・・・・(1)

この式からスタートするのが悪いのです。
本来は、微小な仕事がΔF↑・Δx↑で、
これを微小時間の変化と考えると

ΔF↑・(Δx↑/Δt)Δt 
→ dF↑・(dx↑/dt)dt = dF↑・v↑dt

となるので、これを時間で積分した

∫F↑・v↑dt = ∫m a↑・v↑ dt

からスタートします。

a↑=d(v↑)/dtなので 

a↑・v↑ dt = v↑・d(v↑)/dt dt = (1/2)d(v^2)/dt dt = (1/2) d(v^2)

から左辺の積分はただちに(1/2)mv^2であることがみちびかれ、

∫[A->B] F↑・v↑dt = (1/2)mv(B)^2 - (1/2)mv(A)^2

となります。

力が保存力の場合はF↑= F↑(r↑)で、v↑=d(r↑)/dtなので 左辺は

∫[A->B] F↑・dr↑

になります。


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