有理数が可算無限であることの証明

はじめまして。

有理数が可算無限であることを証明したいのですが、どのように証明できますでしょうか？？

よろしくお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： elmclose 回答日時： 2004/10/25 21:36

任意の正の整数ｎを素因数分解しますと、

p1^i1・p2^i2・ ・・・・・・ ・pk^ik
となります。ここで、p1,p2,・・・,pkはそれぞれ素数です。
ここで、
j1 = i1/2（i1が偶数のとき）
j1 = -(i1+1)/2（i1が奇数のとき）
とします。
j2,j3, ・・・ ,jk
についても上と同様とします。

すると、
p1^j1・p2^j2・ ・・・・・・ ・pk^jk
は、有理数です（ｍとする）。

このような関係が成立するとき、任意の正整数ｎは唯一の有理数ｍに対応します。また、任意の有理数ｍは唯一の正整数ｎに対応します。

よって、有理数は正整数に１対１に対応しますので、可算無限です。

これで証明になっているのではないでしょうか？

No.2 回答者： noname#24477 回答日時： 2004/10/25 12:54

どんな順でも数えられれ（順番がつけば）ば良いので、

たとえば
０，１，－１，
１／２，－１／２，２，－２，
１／３，－１／３，２／３，－２／３，３，－３
１／４，－１／４，３／４，－３／４，４，－４
１／５，－１／５・・・・・
でもいいのではないですか。

No.1 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2004/10/25 11:38

正の整数にそれぞれの有理数が割り当てられる。

で数え上げられることでやるのが有名ですね。