旅先で恋に落ちたくなる?思わぬ運命の恋に巡り合う映画

(ー)✖️(ー)=➕ 正の値になることについて

これは複素数を利用して示すことができるのはわかります

①しかし、複素数が発明されていないときからこの計算はあったと思うのですが......

その当時の人はどう考えていたのでしょうか?

②そもそも複素数で示せる、と言うよりかは、複素数自体がそのような性質を持つために作られたのでは?

③複素数はルート1のようにかけて負の数となる不思議な値を得るために作り出された
にしても、図形の回転や三角関数、恒等式など、応用範囲が広くてかなり便利なものですが、これは複素数の発見に伴ったマグレの発見なのでしょうか?

2つ目の質問内容言い表しにくかったのですが、ご回答お願いします

変な質問ですが、無知に対する批判はやめてください
お願いします!

質問者からの補足コメント

  • 多くの回答ありがとうございます
    こんなに返事をいただけるとは思っていませんでした!
    数学って美しいですね

      補足日時:2018/06/15 18:29

A 回答 (6件)

①正の数と負の数を掛けると負の数になったり、負の数と負の数を掛けると正の数になるのは、「分配則」のためです。


大栗博司著の「数学の言葉で世界を見たら」の第2章の「基本原理に立ち戻ってみる」を読んでみることをお勧めします。
②複素数はそもそも実数世界の計算ルールが、拡張された虚数世界の計算ルールでも成り立つように作られています。
これも、大栗博司著の「数学の言葉で世界を見たら」の第8章の「本当にあった「空想の数」」を読んでみることをお勧めします。
③複素数で負の数と負の数を掛けると、角度が足し算になって、2回180度回転してもとにもどるのも、②の結果です。
複素数の実数にはない面白い性質も、②の結果、導き出せるものです。
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>これは複素数を利用して示すことができるのはわかります


あたりまえ!、示せないなら複素数の考え方が間違いということになります、それが数学なんです。
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①掛けると方向が反転する数


と考えていたのでは。
②、③最初の発想はどうあれ、2次元ベクトルの演算規則で
掛け算と割り算を角度の加法定理と合うようにしたもの。
が複素数でしょうね。それで反転/非反転(180度/0度のみ)が
任意角度に拡張できたのが便利だったので今の繁栄が
あるのでしょう。

内積や外積も単純な演算規則なのに有用性はとても高い。
そこに何か基本的な仕掛けが有るのかは私は知らないです。
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No3にあるように



たとえば、

0=0*(-1)
=(1+(-1))*(-1)
=1*(-1) + (-1)*(-1)
=(-1) + (-1)*(-1)

両辺に1を加えて

1+0=1+(-1) + (-1)*(-1)
よって
1=0+(-1)*(-1)
1=(-1)*(-1)

などなど、、
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1について


被乗数×乗数=積 といういい方で、例えばですが、被乗数が時間に対する何かAの変化率、乗数が時間で、積がAの変化量を表すことができる、といったよくある表現について考えてみてください。
変化率がしばらくマイナスで一定ということはよくありますし、現在よりも少し前というマイナスの時間を考えると、マイナス×マイナスを考えることになります。
もうちょっと具体的には、銀行預金が毎月2万円ずつ減っているような状況が続いていて、3か月前を考えるなら、今よりプラスだったってことですよね。+6万円です。
複素数がどうこう、という高尚な議論をせずとも、マイナスを考えられるようになるだけで、普通の発想で理解できる事態だと思いますよ。

2について
数学の多くは、別の実体がある学問や現象と密接に関係してそれを説明したり考察するための道具として生まれて発展していたりするのですが、虚数や複素数については、数百年にわたって、ただのお遊び的計算だったのに、それを実学に活用する大技を思いついた天才がいて、現在は大変重要ってことになりました。よくある数学とは順番が逆なんです。のちにすごく役に立つことになる仕事を、意図せずやっていた天才の業績をただのマグレというのもなんか違うかな、と思います。簡潔で美しい数学はたぶん後付けでも使い道が出るんですよ。だから美しくまとめた天才たちの業績はマグレって言わないほうがいいと思う。生存者バイアスとかでもなく。でも意図してなかっただろうから、ある捉え方ではマグレっていうようにも見えるんだろうなと思います。
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マグレな発見だと思います。

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