回転体の側面積の公式

回転体の側面積の公式を導く。ｆ（ｘ）は微分可能で、ｆ（ｘ）＞０とする。
定積分から面積、体積の公式を求めたように、aからｘまでの回転体の側面積をＳ（ｘ）とする。
このとき、Ｓ（ｘ＋Δｘ）－Ｓ（ｘ）＝ΔＳとして、ΔＳを①Δｘの一次近似で表すもしくは②ΔＳ/Δｘを評価、挟み撃ちする。
今回は②でやることにする。Δｘ＞０とする。
添付画像のように、[ｘ,ｘ+Δｘ]のｆ（ｘ）の最大、最小をＭ，ｍとして、評価→挟み撃ちでΔＳ/Δｘを求められたのですが、正解とは違います。
もっともらしい式が得られて、自分としては何ら誤りはないように思えてしまうのですが、どこがまずいのですか？

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/06/18 22:07

想像力が足りない。

例えばf′(x)=1 つまりf(x)がx軸に対して45度傾いている場合
ΔSがどうなるか少し考えてみよう。
直ぐに全然駄目と気づかないなら、この先難しいぞ。

ヒント △S=周長×帯の幅だが、帯の幅=Δxか?

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2018/06/16 08:12

ある関数の積分はｇ（ｘ）ｄｘの原始関数を求めればよいだけです。

回転体の表面積2πｆ（ｘ）ｄｘの原始関数はｄS
なのでこれを所望の範囲で積分するだけです。
貴方の場合結論のｄS=2πｆ（ｘ）ｄｘを導く必要はありません。この式は既知です。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/06/16 00:00

不等式の右側,

ΔS/Δx ≦ 2πM
がおかしい.

例えば f(x) = x を x=0 から x=t までの範囲で x軸のまわりに回転させると, 底面の半径が t, 高さが t の正円錐になる. このとき母線の長さは √2t だから側面積は
S = √2t × 2πt × (1/2) = √2πt^2. つまり x ∈ [t, t+Δt]における面積は
ΔS = √2π [(t+Δt)^2 - t^2] = 2√2π tΔt + √2 Δt^2.
ところがこの範囲で t ≦ f(x) ≦ t+Δt だから M = t+Δt だけど
ΔS/Δx = 2√2πt + √2 Δt > 2πM.