子供に聞かれて困ってます・・・(涙)
誰か身近に質問できる方がいればいいのですが・・・なかなか
そうもいきませんで どうかよろしくお願いします・・・。

 COS(bX)からbを取り除く方法を知りたいのです。
そんなのってあるんですか?三角関数のさまざまな定理を使っても、
bははずせなかったのですが・・・どなたか
ご存知でしたらよろしくお願いします。

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A 回答 (4件)

質問からの推測に過ぎませんので見当違いだったら悪しからずご了承ください。



bを取り除いた(外に出した)式で表すことができるのは以下の2つです。

bは整数に限らない実数までとすれば、この公式があります。
お子様が高2で、複素数平面を勉強しているのでしたら、ド・モアブルの定理
cos(bx)+isin(bx)=(cosx+isinx)^b
が考えられます。(iは虚数単位)

高3で数C(行列)まで勉強が進んでいましたら、
cosx -sinx
sinx cosx
この行列のb乗(ただしbは整数に限定)は
cosbx -sinbx
sinbx cosbx
と表せます。

もしここまで勉強が進んでいない段階では、
bを取り除く一般公式はちょっと作れないと思います。

高1の生徒にあり勝ちな発想です(私もそうでした)が、
三角関数に出会う前の b(x+y)=bx+by のような展開はできないのだろうか?
つまり、なぜsin(bx)=bsinxでないのか、などを考えているのではないかとも考えられます。
もしこの疑問でしたら、sinxという値は半径1の円周上のどこかの点のy座標です。
ちょっと打算的な方法ではあります(証明ではないです)が、
b=2、x=90°を代入して成り立たないことをやってみせて、
仕方ないから加法定理を使うしかない、ということを理解させます。

それではなぜ加法定理が成り立つのかは、教科書に載っていますので
一緒に読みながら説明してあげられれば良いのかなと思います。
2倍角、3倍角についてのお話でしたらredbeanさんのURLにて。

私の記憶では一般のb倍角をsinxとcosxのだけで表すことはできないかと・・・・
(勿論、根性さえあれば100倍角だろうが1000倍角だろうが作ることはできますが、bを当てはめたら自動的に式が出てくる状態にはできない、ということです)
違ったら申し訳ありませんが。

以上考えられることを列挙してみました。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
こんなにくわしく教えていただけるとは思いませんでした・・。
本当に感激です!
まず、私も興味があるので、自分が理解して
子供に教えようと思います。
本当に有難うございました~~~。

お礼日時:2001/07/17 19:18

 cos(bX)からbを取り除け。

という問題ではないですよね。問題全部をとりあえず載せてください。そうすりゃ詳しい人がごろごろいるでしょうから、きっといい回答を教えてくれると思います。
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2倍角、3倍角公式ならいろんなHPにでていますね。


参考URLに一つ挙げます。

それとも、b は一般の実数とか?

参考URL:http://joho.densi.kansai-u.ac.jp/~inada/trigonom …
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bを取り除く、はずすというのはどういう意味でしょうか?


cos2X=2*cosX^2-1のようにcos2XをcosXの式に直すということの
一般化でしょうか?
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Aベストアンサー

cos2A+cos2B+cos2C
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(cosC)^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2{cos(180°-A-B)}^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2{-cos(A+B)}^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(-cosAcosB+sinAsinB)^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(cosA)^2(cosB)^2+2(sinA)^2(sinB)^2-4cosAcosBsinAsinB-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(cosA)^2(cosB)^2+2{1-(cosA)^2}{1-(cosB)^2}-4cosAcosBsinAsinB-3
=4(cosA)^2(cosB)^2-4cosAcosBsinAsinB-1
=4cosAcosB(cosAcosB-sinAsinB)-1
=4cosAcosBcos(A+B)-1
=-4cosAcosBcos(180°-A-B)-1
=-4cosAcosBcosC-1
=-4*(1/8)-1
=-3/2

外接円の半径をRとして、
cos2A+cos2B+cos2C=-3/2
⇔3-2(sinA)^2-2(sinB)^2-2(sinC)^2=-3/2
⇔(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=9/4
⇔(a/2R)^2+(b/2R)^2+(c/2R)^2=9/4
⇔(a^2+b^2+c^2)/4R^2=9/4
⇔R^2=(a^2+b^2+c^2)/9
⇔R={√(a^2+b^2+c^2)}/3

というかこういう問題は割と頑張って力押ししてみると、意外と見えてきたりする。

cos2A+cos2B+cos2C
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(cosC)^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2{cos(180°-A-B)}^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2{-cos(A+B)}^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(-cosAcosB+sinAsinB)^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(cosA)^2(cosB)^2+2(sinA)^2(sinB)^2-4cosAcosBsinAsinB-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(cosA)^2(cosB)^2+2{1-(cosA)^2}{1-(cosB)^2}-4cosAcosBsinAsinB-3
=4(cosA)^2(cosB)^2-4cosAcosBsinAsinB-1
=4cosAcosB(cosAcosB-sinAsinB)-1
=4cosAcosBcos(A+B)-1
=-4cosAcosBcos(180°-A-B)-1
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0<A<π(≒3.14)のとき sinA>0
π(≒3.14)<A<2π(≒6.28)のとき sinA<0
なので

cos2-cos4=2sin((4+2)/2)sin((4-2)/2)=2sin3 sin1>0
(∵sin3>0,sin1>0)
∴cos2>cos4
cos4-cos3=-2sin((4+3)/2)sin((4-3)/2)=-2sin(3.5)sin(0.5)>0
(∵sin3.5<0,sin0.5>0)
∴cos4>cos3

以上から cos2>cos4>cos3


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