n→∞のとき数列an→とします。 (1+xn/an)^anがn→∞のときe^xに収束するための必要十

n→∞のとき数列an→とします。
(1+xn/an)^anがn→∞のときe^xに収束するための必要十分条件はxn→x(n→∞)であることの証明の仕方がわかりません。誰か教えてください。

No.3 回答者： nono007 回答日時： 2018/07/02 21:06

スマン!　アタス偏差値5！　テヘヘペロッ!

No.2 回答者： afilter 回答日時： 2018/06/27 14:28

n→∞のときan→∞であり、

((1+xn/an)^anが収束するから、xn/an→0(n→∞)が必要。
yn=((1+xn/an)^anとおく。
log(yn)=log(1+xn/an)^an=xn log(1+xn/an)^(an/xn)
xn/an→0(n→∞)であるから、log(1+xn/an)^(an/xn) →１(n→∞)
上式の極限値は、n→∞のときのxnの極限値に一致する。
したがって、
(1+xn/an)^anがn→∞のときe^xに収束するための必要十分条件は
xn→x(n→∞)となる。

No.1 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/06/21 22:01

１、最初の一行の、「n→∞のとき数列an→とします。

」が未完成の文で回答不能です。
2、an→∞を補足して回答する。n→∞のとき数列an→∞とすると、an＝Nと書くと
lim(1+xn/an)^anはlim(1+xn/an)^an=lim(1+xn/N)^N＿＿①
となる。これをさらに変形すると
lim(1+xn/N)^N=lim(1+(xn－ｘ)/N)^N･lim(1+ｘ/N)^N＿＿②
これから③④を証明すればよい。
lim(1+(xn－ｘ)/N)^N=1＿＿③
lim(1+ｘ/N)^N=e^x＿＿④
④は既知である。③は極限証明の定法のε,Ｍを使う。
xn→x(n→∞)の時は、あるMがあってn＞Mのすべてのｎに対して
|(xn－ｘ)|<εが成り立つ。③の左辺を評価すると⑤⑥により,③の極限はe^εとe^(－ε)に
はさまれる。εは任意に小さい正数である。つまり、③の極限は１になる。
lim(1+(xn－ｘ)/N)^N<lim(1+ε/N)^N＝e^ε＿＿⑤
lim(1+(xn－ｘ)/N)^N>lim(1－ε/N)^N＝e^(－ε)＿＿⑥