（２）がわかりません 問題は 次の不等式証明せよ。文字は全て実数とする。また、等号が成り立つ場合を調

（２）がわかりません
問題は
次の不等式証明せよ。文字は全て実数とする。また、等号が成り立つ場合を調べよ。です。

No.3 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2018/06/20 22:07

こうやれば、ほとんど計算も不要ですっきり。

↓
（証明）
2つのベクトル(x,y,z)と(p,q,r)のなす角をθとおくと、内積を考えることにより、
cosθ=(px+qy+rz)/{√(x²+y²+z²)√(p²+q²+r²)}
であり、cosθ≦1であるから、
(px+qy+rz)/{√(x²+y²+z²)√(p²+q²+r²)}≦1
∴px+qy+rz≦{√(x²+y²+z²)√(p²+q²+r²)}
等号は、cosθ=1つまりθ=0のときであり、このときは、2つのベクトル(x,y,z)と(p,q,r)
が平行であるから、ある実数wに対し、(x,y,z)=w(p,q,r)
（証明終了）


とは言っても、ベタで計算するなら、こうやるんだろうね。
↓
（証明）
与式の左辺≧0であるから、px+qy+rz<0のときは自明。
以下、px+qy+rz>0のときを考える。
与式の両辺は0以上であるから、両辺を2乗しても同値であり、
{√(x²+y²+z²)√(p²+q²+r²)}²≧(px+qy+rz)²を証明すればよい。

上式の左辺-右辺={√(x²+y²+z²)√(p²+q²+r²)}²-(px+qy+rz)²
=(x²+y²+z²)(p²+q²+r²)-(p²x²+q²y²+r²z²+2pqxy+2qryz+2rpzx)
=(p²x²+q²x²+r²x²+p²y²+q²y²+r²y²+p²z²+q²z²+r²z²)-(p²x²+q²y²+r²z²+2pqxy+2qryz+2rpzx)
=q²x²+r²x²+p²y²+r²y²+p²z²+q²z²-2pqxy-2qryz-2rpzx
=(q²x²-2pqxy+p²y²)+(r²y²-2qryz+q²z²)+(r²x²-2rpzx+p²z²)
=(qx-py)²+(ry-qz)²+(rx-pz)²≧0
である。
等号は、qx=pyかつry=qzかつrx=pzのとき、つまり、
x:y=p:qかつy:z=q:rかつz:x=r:pのときであるから、x:y:z=p:q:rのとき。
（証明終了）

注：(x,y,z)=w(p,q,r)とx:y:z=p:q:rは同値。

この回答へのお礼

ことこまかにありがとうございます！θはまだ習ってないので下のほうを使ってやってみます！

お礼日時：2018/06/22 21:19

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/06/27 04:38

文字は全て実数とする。

シュワルツの不等式の証明方法の定番は、まず次の不等式の成立を確認する。uは実数変数である。
左辺は実数の二乗の和だから、プラスまたは0である。
(pu+x)^2+(qu+y) ^2+(ru+z)^2≧0＿＿①
カッコをはずして、uの2次方程式の形にする。
(p^2+q^2+r^2)u^2+2(px+qy+rz)u+x^2+y^2+z^2=0＿＿②
uが変化しても、①が常にプラスのとき、同じ式である②の左辺はつねにプラスであるから2次方程式は0にならないから実根を持たない。したがってuの2次方程式②の判別式はマイナスになる。
D/4=(px+qy+rz)^2－(p^2+q^2+r^2)(x^2+y^2+z^2)<0＿＿③
である。③の第2項を移項して平方根を取れば
(px+qy+rz)^2< (p^2+q^2+r^2) (x^2+y^2+z^2)
px+qy+rz<√(p^2+q^2+r^2)√(x^2+y^2+z^2)__＿④
これで証明できた。
①が0になる時は、二乗の各項が０になるから
(pu+x)^2=(qu+y) ^2=(ru+z) ^2=0__＿⑤
x=－pu，y=－qu，z=－ru__＿⑥
⑥を④に入れると、左辺=右辺、が成立する。判別式D/4=0となる。
このときx:y:z=p:q:r＿＿⑦
の比例関係である。

No.2 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/06/20 12:27

コーシー・シュワルツで検索。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/06/20 01:18

たとえば

ベクトルのなす角を θ とおくと
-1 ≦ cos θ ≦ 1
だから.