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空間ベクトルの質問です。
平面を表す式がax+by+cz+d=0のとき
法線ベクトルは(a,b,c)になるのは何故ですか?

A 回答 (2件)

p=(a,b,c), r=(x,y,z)


n=p/|p|
とすると
平面の方程式は
p・r=-d →n・r=-d/|p|=rのn方向への射影。

つまり、原点からn方向(p方向)の射影が一定の位置ベクトルの集合→pと垂直な平面
ということです。
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空間の前に、二次平面上の直線で考えたら?


ax+by+d=0
のとき、傾きはどうなっていて、法線ベクトルはどうなっている?
例えば、y=2xのとき、2x-y=0なわけだけれど。
いきなり複雑なことを考えても訳わからなくなりますよ。簡単なことから考えないと。

あるいは、逆から考えて、平面に対して角度なり傾きなり法線なり、何か平面の向きを指定してやりたいのでしょう。
平面に対して平行なベクトル、で指定しようにも、xy平面上のxy平面に平行なベクトル、直線、なんて、無数にありますよね。
xy座標上の直線は、xy平面上の直線は、無数にあるわけだから。
だからそれじゃぁ指定できない。
ところが、平面に垂直なベクトルであれば、これは事実上一本しか無く、平面の向きを一つに定められるでしょう。

ベクトルの内積の式はどうでしたっけ?
(a,b,c)・(s,t,u)=?
垂直なら、これが0になる。
平面のその式と似ていませんか?
平面を平行移動して、原点を通過するようにすると、平面上のどのベクトルも、法線と内積を取れば0になるんでしょうね。
平面上の一点が(s,t,u)だとすると、原点からその点までのベクトルの成分は、そのまんま(s,t,u)ですよね。
つまり、原点以外の平面上のどの一点も、原点からそこまでのベクトルを考えると、それと法線ベクトルの内積を取れば、0になる。数学的厳密性がどこまでかはさっぱり判りませんが。
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