位置エネルギーをU(x)としたとき、x0の周りの微小振動の周期が2π√m/V"(x0) になることを

位置エネルギーをU(x)としたとき、x0の周りの微小振動の周期が2π√m/V"(x0) になることを示す という問題の計算をどうすればいいのか教えてほしいです。何を二回微分？するのかしないのかも分からないです。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/06/20 20:20

ポテンシャル U(x) は、力を座標 x で積分したもので、一般には「力に逆らって仕事をする」ことで増加しますから

　U(x) = -∫Fdx
です。
従って、これを座標で微分すれば
　F = -dU/dx = -U'(x)
ということになります。

x=x0 を中心とした「対称形」のポテンシャルを有する微小範囲で
　F = -U'(x - x0) = -k(x - x0)　　　①
という x=x0 からの変位に比例した復元力を持てば、これは「単振動」 になります。
　x - x0 = X 　　　　②
と書けば
　F = -kX
ですから、質量 m の物体の運動方程式は
　m * d²X/dt² = - kX
となり、この一般解は
　X(t) = A*sin(ωt) + B*cos(ωt)
　ω = √(k/m)　　　　　　③
となります。

一方、ここで x は x0 の近傍の微小変位なので
　Δx = x - x0
とおくと
　F(x0) = -U'(x0)
また
　F(x0 + Δx) = F(x0) + ΔF
と書けば、①より
　ΔF = F(x0 + Δx) - F(x0) = -U'(x0 + Δx) + U'(x0) = -k*Δx
よって
　k = [ U'(x0 + Δx) - U'(x0) ]/Δx
これは Δx→0 のとき
　k = U''(x0)
です。

これを③に代入すれば
　ω = √[ U''(x0)/m ]
角速度 ω に対して、単振動の周期は
　T = 2パイ/ω
なので、この単振動の周期は
　T = 2パイ/√[ U''(x0)/m ] = 2パイ√[ ｍ/U''(x0) ]


従って、質問文に書かれている

＞2π√m/V"(x0)

の「V''(x0)」は「U''(x0)」だし、「m/V"(x0)」正しくは「m/U''(x0) 」全体がルートの中にあるという式かと思います。
また、こうなる条件として、ポテンシャル U(x) が x=x0 を中心に対称形である必要があると思います。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2018/06/23 03:26

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/06/21 08:47

AN01です。

√が落ちてましたね(^-^;
>T=2π√(m/(2k))=2π(m/U''(x0))

T=2π√(m/(2k))=2π√(m/U''(x0))

それと
>位置エネルギが極小になる点x0では U≒k(xーx0)^2 で近似できる
というのは、極小点付近ではU'(x)=0とみなせるので、
三次近似が無視できる範囲では2次の項だけが残る
ということです。

そういう状況なら というのが質問から抜け落ちてますね。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/06/20 19:40

位置エネルギが極小になる点x0では U≒k(xーx0)^2 で近似できる。

すると物体にくわわる力は -dU/dx=-2k(xーx0)
つまり単振動。d^U/dx^2=U''(x0)=2k とすると周期は
T=2π√(m/(2k))=2π(m/U''(x0))