出産前後の痔にはご注意!

対称行列について、質問です。
正方行列Aにおいて、成分が
a_ij=a_ji
a_ii=0
ぇあるとき、この行列Aは正則でしょうか。

A 回答 (5件)

> Tacosanさん



ご指摘ありがとうございます.
確かにそうですね.

正則になる条件を探すために,頭の中で対角化してしまっていました.

対角化できなくても
 (固有値の積) = (行列式の値)
は言えているので,対称行列であるという条件は要りませんね.
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固有値がすべて非 0 ならそれらの積である行列式も自動的に非 0 になるのでは>#3.

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回答No.2に補足します.



と言っても,補足しなくてもわかるとは思いますが,
「固有値がすべて非 0」なら正則行列になるというのは,
質問者さんのおっしゃる条件(のうちの対称行列という条件)が満たされている上での話です.
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回答No.1に補足します.



2次正方行列や3次正方行列の場合,
質問者さんのおっしゃる条件に加えて「非対角成分がすべて非 0」であれば
正則行列になります.
これは行列式を計算すればすぐにわかりますね.

一方,4次以上の場合,一般的かつ実用的な条件はないと思います.
あえて言えば,
 ・行列式の値が非 0 (← 当たり前の条件ですね)
とか
 ・固有値がすべて非 0
というくらいでしょうか.

もう少し行列の形が限定されないと有用な条件は作れませんね.
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例えば,行列


 [0 0]
 [0 0]
は仮定を満たしますが正則ではないですね.

非対角成分がすべて非 0 であるような場合でも,
例えば,行列
 [0 1 1 1]
 [1 0 1 1]
 [1 1 0 4]
 [1 1 4 0]
は行列式の値が 0 となるため非正則ですね.
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この回答へのお礼

逆にどのような時に正則となりますか?

お礼日時:2018/06/24 16:40

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