数学 kを実数の定数とするとき、次の二次方程式の解を判別せよ。 x^2ー6（kー2）x＋k^2+8=

数学

kを実数の定数とするとき、次の二次方程式の解を判別せよ。

x^2ー6（kー2）x＋k^2+8=0
が、4（kー1）（2Kー7）になるまでの途中式を詳しく教えてください

No.5 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/07/10 03:03

二次方程式x^2ー6（kー2）x＋k^2+8=0＿＿①

の判別式を求めよ。
二次方程式の一般式を
ax^2+bx+c=0＿＿②
とする。a≠0である。最初の２項を含む二乗式をa(x+b/2a)^2とする。この二乗式を展開すると③となる。最初の２項ax^2+bxを③から求めると④になる。
a(x+b/2a)^2=ax^2+bx+b^2/4a＿＿③
ax^2+bx = a(x+b/2a)^2－b^2/4a＿＿④
④を②に入れると式⑤になる。
式②=ax^2+bx+c= a(x+b/2a)^2－b^2/4a+c
= a(x+b/2a)^2－(b^2－4a c)/4a=0＿＿⑤
この計算を式①の二次方程式の平方完成という。
その第2項の分子を判別式(discriminant)といい
D=b^2－4a c＿＿⑥
と書く。これを使うと二次方程式が解ける。⑤に入れると、式②は⑦になり、⑧のように変形すると
解⑨を得る。
式②=ax^2+bx+c= a(x+b/2a)^2－D/4a=0＿＿⑦
a(x+b/2a)^2=D/4a
(x+b/2a)^2= D/4a^2
x+b/2a=±√D/2a＿＿⑧
x=－b/2a±√D/2a＿＿⑨
式①の係数はa=1，b=－6(k－2），c= k^2+8であるから、式⑥に入れると
D=b^2－4a c=(－6(k－2))^2－4･1(k^2+8)
=36(k^2－4k+4)－4(k^2+8)=32 k^2－144k+112
=16(2 k^2－9k+7)=16(k－1)(2k－7)＿＿⑩
1<ｋ<7/2のときはD>0となるので、方程式①は2実数解を持つ。
ｋ＝１およびｋ＝7/2のときはD=0となるので、方程式①は2重解を持つ。
k<1およびk>7/2のときはD<０となるので、方程式①は2虚数解を持つ。

No.4 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/07/07 13:34

x²-6(k-2)x+k²+8=0

{x-3(k-2)}²-9(k-2)²+k²+8=0
{x-3(k-2)}²-8k²+36k-28=0
{x-3(k-2)}²-1/2 {16k²-72k+56}=0
{x-3(k-2)}²-1/2 {(4k-9)²-25}=0
{x-3(k-2)}²-1/2 (4k-9+5)(4k-9-5)=0
{x-3(k-2)}²-1/2 (4k-4)(4k-14)=0
{x-3(k-2)}²-4(k-1)(2k-7)=0
ここで式の後半
D=4(k-1)(2k-7)
の符号を考察する。
i) D>0
ならば、平方根が実数となるので
A²-B²=(A+B)(A-B)
の形に因数分解することができる。よって異なる2つの実数解を持つ。
ii) D=0
ならば、平方式なので重根を持つ。
iii) D<0
ならば、因数分解することができないので実数解は存在しない (共役な虚数解を持つ)。

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2018/07/06 19:13

判別式のことでしょうか？

この場合は、6は偶数なので、

D/4=｛ー3(kー2)｝^2 ー1・(k^2+8)=9(kー2)^2 ー(k^2+8)
=8k^2 ー36k +28 =4(2k^2 ー9k +7)=4(kー1)(2kー7)

No.1 回答者： tmiyoshi 回答日時： 2018/06/29 01:14

D={-3(k-2)}^2 - (k^2+8)

= 9(k-2)^2 - (k^2+8)
= 8k^2 - 36k + 28
= 4(2k^2 -9k + 7)
=4(2k-7)(k-1)