物理の問題です 4.1ロープで繋がれたふたつの物体(質量m1,m2)を力Fで引っ張った時の物体間のロ

物理の問題です

4.1ロープで繋がれたふたつの物体(質量m1,m2)を力Fで引っ張った時の物体間のロープの張力を求めよ。

4.2滑らかな釘にかけたロープの両端に2つの物体(質量m1,m2)をつるすときのロープの張力を求めよ。ただし、ロープとくぎの質量は無視する。

4.3床におかれたひとかたまりの鎖(長さl,質量m)を一定の速度vで引き上げるときの力を求めよ。

(自分の回答)
4.1 T=F

4.2 m1a=m1g－T －①
m2a=T－m2g ー②
①＋②よりa=gなのでT=0、T=2mg

4.3 ？



4.1、4.2、4.3の解説よろしくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/07/01 11:38

2つの物体の加速度は等しいので、共に右向きにaとする。

m１に関する運動方程式
m1a=T⇔a=T/m1・・・・①
m2に関する式
m2a=F-T・・・②
①を②へ代入
m2(T/m1)=F-T
(m1+m2)T=m1F
T=m1F/(m1+m2)
ただしTは張力
point・・・2つの物体それぞれに関する運動方程式を立てる


m1<m2と仮定した場合
加速度の方向を正の方向とし
m1,m2の加速度をそれぞれaとすると
m1に関する運動方程式
m1a=T-m1g・・・③
m2に関するもの
m2a=m2g-T・・・④
③÷④より
m1a÷m2a=(T-m1g)÷(m2g-T)
m1/m2=(T-m1g)/(m2g-T)
m1(m2g-T)=m2(T-m1g)
2(m1)(m2)g=(m1+m2)T
T=2(m1)(m2)g/(m1+m2)・・・A
これはm1>m2の場合も同様の結果を得られる
m1=m2の場合 加速度は生じないから
m1に関する運動方程式
m1g=T
m2に関するもの
m2g=T
これらの式からT=(m1+m2)g/2
m1=m2から
T=(m1+m2)g/2=2(m1)g/2=m1g
Aの式でｍ１＝ｍ２とすると
T=2(m1)(m1)g/(m1+m1)=(m1)g
よってｍ１ｍ２の大小関係に関わらずA式が答えとなる
（答案には場合分けせずに加速度の向きを正、加速度をaとして運動方程式を解く形式を記述するだけで良いはずです。今回は少し詳しく書いてみました）

No.6 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/02 13:06

答えが間違っていて済みません。

エネルギ―保存が成立していませんね。
解いていて一抹の不安はありましが、
速度Vで運動している質量ｍの物体が静止している質量ｍに衝突して一体となった場合には、運動エネルギーは半分になりますから、結果的には得られた結果を２倍する必要がありましたね。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/01 16:57

No.4 です。

#3 さんと、同じ時刻に同じようなことを考えていたようです。
でも、結果が 1/2 違っていました。

けっこう面倒な問題ですが、#3 さんの解法をトレースしてみると、

＞そこで、静止している質量dmがdtの間に速度Vになったとすると、
＞力ΔFの仕事と質量dmの運動エネルギー関係より、
＞　dm*V^2/2=ΔFVdt

のところは、ΔF は「既に引き上げられた部分を上に持ち上げるための力に付加する力」ということだと思いますが、これは「微小時間 dt 間の力 ΔF は一定」と考えて、

　(1/2)dm * v^2 = ΔF * Vdt　　　(A)

ここで、(A)式の左辺は「一定引き上げ速さ v （定数）になったときの運動エネルギー」であり、右辺は「力 ΔF で距離 Vdt を動かした仕事」ということで、右辺の V は「微小時間 dt の間に変化する dm の速さ（変数）」ということかと思います。つまり、大文字で書かれた V は、微小時間 dt の間に変化する dm の速さであり、0～dt 間の平均速さ Vav は、「力 ΔF が一定」ならば「加速度も一定」なので
　Vav = (1/2)v　　　　　(B)
となるのではないかと思います。

(B)の関係を使うと、(A)は
　dm * v^2 = ΔF * vdt　　　(C)
で「1/2」はなくなります。

ここで
　dm = ρvdt = (m/L)vdt
なので、(C) は
　dt = ΔFvdt
よって
　ΔF = (m/L)v^2

さらに別な考え方をすれば、力 ΔF が一定のとき、「力積」は「運動力の変化」に等しいので、微小時間 dt の力積は
　ΔF*dt = dp = d(mv) = dm * v
なので、ここに dm = ρvdt = (m/L)vdt を代入すれば、やはり
　ΔF = (m/L)v^2
の結果が得られます。

つまり、最終的な解答は

　0 < t < L/v のとき F = (m/L)gvt + mv^2 /L
　L/v ≦ t のとき F = mg

ということかと思います。

いかがでしょうか。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/01 14:19

4.1 「静的に」引っ張った「力のつり合い」ではないのですから、T=F という発想はあり得ません。

「静的」ではない場合には、糸にたるみがなければ一体で動くので加速度を a1=a2=a であり運動方程式を書けば
・質量 m2 の物体（直接、力 F で引っ張られる方）
　　m2*a = F - T　　①
・質量 m1 の物体（張力 T で引っ張られる方）
　　m1*a = T　　　　②

①+②で
　　(m1 + m2)a = F
→　a = F/(m1 + m2)
これを②に代入すれば
　　[m1/(m1 + m2)]F = T
です。（①に代入しても同じ結果になる）

m1 = m2 であれば、T = (1/2)F になります。

4.2 も同じです。

＞①＋②よりa=gなのでT=0、T=2mg

なんてことはあり得ません。同じ糸である限り、どこでも張力は一定でなければなりません。

糸にたるみがなければ逆方向に一体で動くので加速度を a1=-a2=a であり（m1 と m2 の大きさによって、a は正負どちらにもなり得る）運動方程式を書けば
・質量 m1 の物体
　　m1*a = -m1*g + T　　③
・質量 m2 の物体
　　m2*(-a) = -m2*g + T　　④

③-④で
　　(m1 + m2)a = -(m1 - m2)g
→　a = -[(m1 - m2)/(m1 + m2)]g
これを③に代入すれば
　　-m1[(m1 - m2)/(m1 + m2)]g = -m1*g + T
→　{ [ m1(m1 + m2) - m1[(m1 - m2) ]/(m1 + m2) }g = T
→　T = [ 2m1*m2/(m1 + m2) ]g
です。（④に代入しても同じ結果になる）

m1 = m2 = m であれば、T = mg となって、両方の「おもり」が重力でぶら下がって静止して「つり合っている」状態になります。

（注）a が「正のとき」「負のとき」に場合分けしても同じ結果になることは、#2 さんが示されているとおりです。

#1 さんの答は、「くぎが滑らないとき」に「くぎと天井との間に働く力」ですね。
これも「くぎが滑る」ときにはそうなりません。極端な例として、m2=0 （糸が切れた場合）のときを考えれば、働く力は m1 を落下させる重力だけで、糸がくぎを滑っている最中も、張力も「くぎと天井との間に働く力」もゼロになります）

「4.2」も「4.1」も「静的」に考えてはいけませんよ、という警告のための設問ですね。

4.3 これが本格的に解かせたい設問なのでしょう。

「一定速度で引き上げる」ので、すでに引き合げられた部分の重力は「静的つり合い」でよいですが、新たに吊り上げられる部分には 0 → v の「加速度」が働きます。

質量の線密度は
　ρ = m/L (kg/m)　　　　　⑤
なので、時間微小 Δt に新たに吊り上げられる部分の質量は
　Δm = ρvΔt　　　　　⑥
です。この部分を引き上げるのが力 T は
　T = Δm * a = Δm * ΔV/Δt　　　⑦
ここで、速度変化が 0 → v なので
　ΔV = v　　　⑧
であり、⑦に⑥⑧を代入すれば
　T = ρvΔt * v/Δt = ρv^2
これに⑤を代入して
　T = mv^2 /L

既に引き上げた部分の長さを x とすると、x<L のとき
　F = ρxg + T
であり、
　x = vt
なので
　F = (m/L)gvt + mv^2 /L

#1 さんの回答は、この第1項目（静的な力の部分）だけですね。

No.3 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/01 14:15

m1の下向きの加速度をaとすれば、質問者と同じ

m1a=m1g－T －①
m2a=T－m2g ー②
後はこの簡単な式を解くだけですね。①+②より
a=(m1-m2)g/(m1+m2) T=2m1m2g/(m1+m2)
となる。

4.3はかなりの難問かもしれません。問題集に答えがあれば、それは間違っている可能性が高いですよ。空中に鎖がある場合は明らかに
F=mg となります。
鎖の質量が (Vt/l)m のときは、F=(Vt/l)mg (問題集の解答？)
これは、誤りです。何故ならば、Fがした仕事を計算すると、
∫[0～l/V]FVdt=mgl/2
となり、これは鎖の位置エネルギー(高さｌ/2(重心位置)、質量ｍ)を表しているだけですね。さて、運動エネルギー mV^2/2 を与える力が必要です。
そこで、静止している質量dmがdtの間に速度Vになったとすると、
力ΔFの仕事と質量dmの運動エネルギー関係より、
dm*V^2/2=ΔFVdt 　　 dm/dt=m(V/l)
上式より、ΔF=mV^2/(2l)

したがって、

F= mV^2/(2l)+ (Vt/l)mg （０< t<ｌ/V）
F= mg （ t>ｌ/V）

となります。これで間違えないと思いますよ。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2018/07/01 09:00

４．１：Ｆ=(m1+m2)a=m1a+m2a=2T

４．２：Ｔ＝m1ｇ+m2ｇ
４．３：質量増加量ｄｍ＝ｖｄｔｍ/l、Ｆ＝ｇｍ　ｔ＝Ｏからｔ１＝ｌ/vまでのｔでの張力Ｆｔ＝
　　　　ｖｇｍ/l∫ｄｔ＝ｖｇｍｔ/l