半径rの球に電荷Qが分布してるときの静電エネルギーが 3q^2/20επr になることを示してほしい

半径rの球に電荷Qが分布してるときの静電エネルギーが 3q^2/20επr になることを示してほしいです。積分区間は0～r、r～∞でやって、 ∫ 1/2・ε(Q/4πεr^2)^2・4πr^2 dr をやりましたが計算が合いませんでした。

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/07/03 04:28

静電エネルギーが 3q^2/20επr になることを示してほしいです。

積分区間は0～r、r～∞でやって、 ∫1/2・ε(Q/4πεr^2)^2・4πr^2 drをやりました。
球の半径をaとする。
単位体積当たりの電界エネルギ=1/2・εE^2
球外の電界E= Q/4πεr^2
球外の電界エネルギ=∫(a～∞)(1/2・εE^2) 4πr^2 dr
=∫(1/2・ε(Q/4πεr^2)^2) 4πr^2 dr
=(1/2・ε(Q/4πε)^2) 4π∫(a～∞) (1/r^2) dr
=(Q^2/8πε)[－1/r] (a～∞)
=(Q^2/8πε)1/a
=(Q^2)/8πεa
球内の電荷密度は一様と仮定すると，半径r以内の全電荷はQ(r/a)^3となる。
球内の電界E= Q(r/a)^3/4πεr^2
球内の電界エネルギ=∫(0～a)(1/2・εE^2) 4πr^2 dr
=∫(0～a) (1/2・ε(Q(r/a)^3/4πεr^2)^2) 4πr^2 dr
= (1/2・ε(Q(1/a)^3/4πε)^2) 4π∫(0～a) ( (r^3/r^2)^2) r^2 dr
= (Q^2/8πεa^6)∫(0～a) r^4 dr
= (Q^2/8πεa^6)a^5/5
= Q^2/40πεa
全電界エネルギ=(Q^2)/8πεa+ Q^2/40πεa=6Q^2/40πεa
=3Q^2/20πεaとなる。
小文字のqは何を表すのですか？

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/07/01 19:13

問題の前提がはっきりと書いていないため答えようがない、といいたいところです。

電荷Qの分布の仕方が明記されていない、rよりも内側での誘電率がわからない、そのため計算できません。

Qはr内で一様分布、rよりも内側での誘電率がε(rよりも外と同じ値)として計算すると係数は3/20になりますからそのような前提なのでしょう。

その場合、rよりも内側での電界の大きさが間違っているのでしょう。Q/(4πεr^2)にはなりません。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/01 19:08

球の半径 r と、「座標」としての r を区別してくださいね。