この問題の解き方を教えてください。 ⑴x^4+y^4-1=0のときf(x,y)= x^3+2y^3

この問題の解き方を教えてください。
⑴x^4+y^4-1=0のときf(x,y)= x^3+2y^3
の最大値最小値を求めよ。

⑵x^2+y^2+z ^2-1=0のときf(x,y)=3x+4y+5zの最大値最小値を求めよ。

No.2 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/07/02 11:44

未定定数法

条件付き極大極小を求める方法の定番にラグランジュの未定定数法があります。
極値を求める式をf(x,y)、条件式をg(x,y) =0とするとき、
F(x,y)= f(x,y)+λg(x,y)として
F(x,y)が極値となる条件式と、g(x,y) =0の連立を解く。λは定数
⑴x^4+y^4-1=0のときf(x,y)= x^3+2y^3＿＿①
の最大値最小値を求めよ。
F(x,y)= x^3+2y^3+λ(x^4+y^4-1)とする。
∂F/∂x= 3x^2+λ(4x^3)=0＿＿②
∂F/∂y= 6y^2+λ(4y^3)=0＿＿③
g(x,y) = x^4+y^4－1=0＿＿④
②③④の連立方程式を解く。
②から3x^2+λ(4x^3)= x^2(3+λ4x)=0
x=0またはx=－3/(4λ)＿＿⑤
③から6y^2+λ(4y^3)= y^2(6+λ4y)=0
y=0またはy=－6/(4λ)＿＿⑥
⑤と⑥から4通りのの組合せができる。
(i)x=0，y=0は④の条件に反する。
(ii) x=0，y=－6/(4λ)=－3/(2λ)＿＿⑦
を④に入れると
x^4+y^4－1=(－3/2λ)^4－1=0
λ^4=81/16，λ^2=±9/4，λ=±3/2または±3ｉ/2。このうち虚数解はすてる。
⑦よりy=－3/(2(±3/2))=∓1。
①に入れるとf(x,y)= ∓2＿＿⑧
(iii) x=－3/(4λ)，y=0＿＿⑨
を④に入れると
x^4+y^4－1= (－3/(4λ))^4－1=0
λ^4=81/256，λ^2=±9/16，λ=±3/4または±3ｉ/4。このうち虚数解はすてる。
⑨よりx=－3/(4λ) =－3/(4(±3/4)) =∓1
①に入れるとf(x,y)= x^3+2y^3=(∓1)^3=∓1＿＿⑩
(iv) x=－3/(4λ)，y=－6/(4λ)＿＿⑪
を④に入れると
x^4+y^4－1= (－3/(4λ))^4+(－6/(4λ)) ^4－1=0
(－3/(4))^4+(－6/(4)) ^4=λ^4
(81+1296)/256=λ^4
(√17)9/16=λ^2
λ=±(√√17)3/4
⑪よりx=∓1/(√√17)，y=∓2/(√√17)
f(x,y)= x^3+2y^3=∓1/(√√17)^3∓16/(√√17)^3
=∓17/(√√17)^3=∓√√17≒∓2.03＿＿⑫
⑧⑩⑫から⑫が最大最小となる。
⑵x^2+y^2+z^2-1=0のときf(x,y)=3x+4y+5z＿①＿式番号は①から付直す。
の最大値最小値を求めよ。
F(x,y)= 3x+4y+5z +λ(x^2+y^2+z^2-1)とする。
∂F/∂x=3+2λx=0＿＿②
∂F/∂y=4+2λy=0＿＿③
∂F/∂z=5+2λz=0＿＿④
g(x,y) = x^2+y^2+z^2-1=0＿＿⑤
②③④⑤の連立方程式を解く。
②③④からx=－3/(2λ)，y=－4/(2λ)，z=－5/(2λ)＿＿⑥
これを⑤に入れると
g(x,y) = x^2+y^2+z^2-1
=(－3/(2λ))^2+(－4/(2λ))^2+(－5/(2λ))^2－1=0
λ^2 =(3^2+4^2+5^2)/4=50/4
λ=±5√2/2＿＿⑦
⑦を⑥に入れると
x=∓3/(5√2)，y=∓4/(5√2)，z=∓5/(5√2)＿＿⑧
⑧を①に入れると
f(x,y) =3x+4y+5z=∓(3^2+4^2+5^2)/(5√2)=∓50/(5√2)=∓5√2＿＿⑨
最大値5√2，最小値－5√2

No.3 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/02 17:40

高校生でも理解できる方法で解きました。

1)

a≧0 b≧0とすると、一般に　f(-a,-b)≦ f(-a,b), f(a,-b)≦ f(a,b)　が成立する。
したがって、f(a,b)が最大値であれば、 f(-a,-b)=- f(a,b)が最小値である。
よって、第一象限だけを調べれば良い。そこで、
ｘ=√cosθ　　y=√sinθ (0<θ<π/2) とおく。
念のため、f(1,0)=1 f(0,1)=2 求めておく。
f(x,y)=g(θ)=(√cosθ)^3+2(√sinθ)^3
g(θ)’=(3/2)cosθ√sinθ(2-√tanθ)
0<θ<arctan(4) で g(θ)’>0
arctan(4)<θ<π/2　で　 g(θ)’<0
したがって、g(θ)はθ= arctan(4)　でその最大値をとる。
このとき、cosθ=(17)^(-1/2)　　sinθ=4(17)^(-1/2)
よって、x=(17)^(-1/4) y=2(17)^(-1/4)
したがって、
最大値　(17)^(1/4)　　( x=(17)^(-1/4) y=2(17)^(-1/4) のとき)
最小値　-(17)^(1/4)　　(x=-(17)^(-1/4) y=-2(17)^(-1/4) のとき)

2)
やり方は星の数ほどあります。ここでは、シュワルツの不等式を使ってみましょう。
(3^2+4^4+5^2)(x^2+y^2+z^2)≧(3x+4y+5z)^2
x^2+y^2+z^2 =1 だから (3^2+4^4+5^2)≧(3x+4y+5z)^2　　
すなわち 50≧(3x+4y+5z)^2 等号は　x/3=y/4=z/5(=k) のとき、
これを　x^2+y^2+z^2 =1　に代入して　k=±1/(5√2)
3x+4y+5z　の最大値　5√2 (x=3/(5√2) y=4/(5√2) z=5/(5√2) 　のとき)
　　　　　　 最小値　-5√2 (x=-3/(5√2) y=-4/(5√2) z=-5/(5√2) 　のとき)

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/07/02 01:10

(1) は制約条件から媒介変数を使うのが簡単かなぁ. (2) は... 点と平面の距離?