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y=a(x-p)2乗
y=a(x-p)+q
のグラフの書き方が分かりません

また上の形に変形される計算も分かりません

A 回答 (5件)

y=ax²+bx+c__①


を2次式の一般形といいます。
方程式ax²+bx+c=0__②
を解くには、最初の2項ax²+bxを、式③のように一つの二乗項にすると解けます。
ax²+bx=a(x+p)²+・・・__③
式③を展開すると④になる。
ax²+bx=ax²+2apx+ p²・・・__④
右辺第2項でp=b/2a__⑤
と決める。するとその項は左辺のbxと一致する。
式④のa(x+p)²= a(x+ b/2a)²を、改めて計算すると⑥になる。
a(x+p)²= a(x+ b/2a)²= ax²+bx +a(b/2a)²= ax²+bx +b²/4a__⑥
最右辺のax²+bxを求めると
ax²+bx= a(x+p)²-b²/4a__⑦
これを②に入れると
ax²+bx+c = a(x+ p)²-b²/4a +c__⑧
ここで⑧式を⑨のように書くとqは⑩式となる。式②を⑨のように変形する計算を
平方完成という。
ax²+bx+c =a(x+ p)²+q=0__⑨
q=-b²/4a +c=-(b²-4ac)/4a__⑩
右辺の括弧内を判別式という。
D=b²-4ac__⑪
方程式⑨を解くと
a(x+ p)²+q=0、a(x+ p)²=-q=(b²-4ac)/4a=D/4a
(x+ p)²=D/4a²
x+ p=±√D/2a
x =-p±√D/2a=-b/2a±√D/2a=(-b±√D)/2a__⑫
これが二次方程式の解の公式です。
放物線の基本の式は⑬式です。
y= ax²__⑬
このグラフはa>0のとき下に凸の放物線になる、a<0のとき上に凸の放物線になります、
左右対称で、対称軸はx=0にあり、放物線の頂点は原点にあります。
次に式を
y= a(x+p)²__⑭
とすると、x=-pとすると、⑭式でx+p=0となり、それは式⑬でx=0としたのと同じ計算をすることになるので、⑭のグラフは⑬のグラフの原点x=0をx=-pに移動したものになります。つまり、⑬のグラフをpだけ左にずらせばよい。
次に⑭にqをたして⑮とすると
y= a(x+p)²+q__⑮
⑭のグラフは⑬のグラフをy方向に、つまり、上にqだけずらせばよい。
軸の位置はx=-p=-b/2a。頂点は(-p,q)= (-b/2a,D/4a)__⑯
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是は基本的なことです。


教科書で説明されているところを、しっかり読み、身につけましょうね。
これができなければ、上の段階に進むこともできません。
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2行目の式は y=a(x-p)²+q ですね。


此の式は、「平方完成」した式と云います。
y=ax² のグラフを x 軸に沿って p 、y 軸に沿って q 平行移動させると、
y=a(x-p)²+q と云う形になります。

2次関数の一般的な形 ax²+bx+c を平方完成するには、
下記のサイトが解り易いと思います。参考にしてみて下さい。
https://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a13m0204.h …
https://atarimae.biz/archives/20271
https://www.studyplus.jp/460
あなたの波長と合ったもので、理解を深めて下さい。
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a とか p とか q とか抽象的な書き方ではグラフは書けません。



a=1 とか p=2 とか q=3 にして、
 y = x - 3
 y = (x - 2)²
などの具体的な式にして、
 x = -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ・・・
と数値を入れて y の値を求め、グラフ用紙に (x, y) の組ごとにプロットして、それを線でつないでみてください。

グラフを書くとは、そういうことです。

その基本をおろそかにして、「グラフの一般形」などを覚えようとしても無駄です。
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中学校では、


「yはxの二乗に比例し〜」
と言われたら、

y=ax² ー①
↑必ず原点を通る

が思い浮かんだと思います。

ですが、高校では

与えられた2次方程式

y=ax²+bx+c ー②

を、

y=a(x-p)²+q ー③
↑原点を通るとは限らない

に変形する「平方完成する」
(②式から③に変形することを指す)
というものをやらなくてはいけません。

③式 y=a(x-p)²+qのグラフは、
①式 y=ax²のグラフをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した放物線のことです。

以下の公式を覚えましょう。
__________________________________
〜公式〜

y=ax²+bx+c のグラフを書くには、

y=a(x-p)²+q と平方完成する。

ただし、
p=-b/2a q=-(b²-4ac)/4a
__________________________________

平方完成するのは(数学が苦手な人は)出来るだけ多くの問題に触れて慣れることです。

〜平方完成のこつ〜

1.与えられた2次方程式のx²の係数aをまず外に出します。

2.xの係数bをaで割ります。

3.(b/a)²して1/2倍したものが、-pの値になります。

4.p²にaをかけた値ap²とcとの差を計算して、qの値で引いたり足したりします。

よかったら平方完成してみてください。

y=2x²-12x+15

では、頑張ってください。
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y=(x-2)2乗-9
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が、さっぱりわかりません。
大人でしてすっかり忘れてしまいました。
どうしてこうなるか教えてください。

Aベストアンサー

問題文は (x + a)^2 でなくて、(x - a)^2 なので、

その図も描きました

「そのくらい、わかる! バカにするな!」

とか思っちゃったら、ゴメンなさい


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