そこで、No.51622 以降の話が活きてくるのですが、
1) 体積は断面積を積分すると求められる。
2) 直円錐と、少し傾いた円錐(ただし高さは同じ)のように、形が変わっても
断面積が全ての位置において等しければ体積は等しい。
イメージしにくければ、
2') 積分範囲のどこにおいても、断面積が等しい2つの立体の体積は等しい
と理解しても良いです。
ここまでは良いですか?
半径rの球の中心を0とし、半径方向にx軸を取ると、
3) x座標xにおける球の断面積は π√(r^2-x^2)^2 である。
4) 変形すると、断面積は π(r^2-x^2) である。
5) これは πr^2-πx^2 なので、半径rの円から、半径xの円をくり抜いたドーナツ型の面積と等しい。
6) こういうドーナツ型の断面を持つ図形は、下の図の右側のような、円柱から円錐をくり抜いた立体である。
7) この立体をXと呼ぶことにすると、半球と立体Xは断面積がどの位置においても等しいので、体積は等しい。
8) 立体Xを高さ半分のところで切った上の方と、立体Wの体積は等しい。
9) 立体Xを真横から見ると、円柱と円錐と底面で挟まれた部分がr,r,√2r の直角二等辺三角形になっている。
10) 実はこの部分が、直角二等辺三角形になっていることは、立体Wの体積を求めることと、なんの関係もない。
どうですか?
この説明の、2)、2‘)、8)、9)、10)がわかりません。教えていただけると幸いです。
A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
7) 立体 X は臼型の上半分です。
これを北半球と同じテーブルに並べて置いたとすると、任意の平面で切った断面は、X 側は二重円の間 (某洋菓子店のクッキーのような形)、半球側は円ということになります。これらの面積を求めると、どの高さにおいても等しくなるので、カバリエリの定理から立体 X と半球の体積は等しい事が判ります。
10)
皿ネジワッシャー型の体積を求めるのには円柱の体積からプリン型の体積を引いた値となるので、その断面が直角二等辺三角形である事の性質は特に利用しませんよね? 何か関連付けすることありますか? たまたまそうなっただけですよね。つまりはそういうことです。
No.4
- 回答日時:
8) は、
半径 r 高さ 2r の円柱から半径 r 高さ r の円錐 2 つを上下から向き合わせにくり抜いた図形 (臼型) の体積は半径 r の球の体積と等しい。という前提の下、
テキトーな水平面で臼型と球を切断したときにできる皿ネジ用ワッシャー型とどら焼き型の体積もカバリエリの定理から等しいと言えるという話です。
9) は、 8) でできたワッシャー型を真横から見ると直角二等辺三角形の回転体になっているということです。
10) は、だから何? って感じです。実際カンケーないし〜
No.3
- 回答日時:
2’) はカバリエリの定理です。
私が現役の頃は中学の数学で学びました。これとピタゴラスの定理 (3平方の定理) を組み合わせることで球の体積の公式
4/3 πr³
を導き出すことができるというのがこの証明の趣旨です。
中学校では微積分を学ばないのでこうやって証明するのです。
最近は無証明でイキナリ公式を覚えろみたいになっているようですが、キチンと手順を踏んで理解することも大事ではないかと思います。
No.1
- 回答日時:
2')
平面に置き換えて考えると分かりやすいです。
以下の図において、高さが同じ長方形と平行四辺形があります。
これを底辺に平行な青線で区切ってみると、長方形と平行四辺形は青線のところで分断されます。
分断されたところを赤線で示しましたが、赤線の長さは同じになるのは分かりますか?
そして、青線でどの部分を区切ろうとしても赤線の長さは同じ長さになります。
これを立体バージョンにしただけです。
底面に平行な任意の平面で切った後のそれぞれの断面積が同じならば、体積も等しいということです。
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もう一枚貼っておきます。教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
では、8),9),10)は、どうなのでしょうか?教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
ありがとうございます。
確かに、そうですね。で、8),9),10)は、どうなのでしょうか?教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
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