質量m 半径aの一様な円環の慣性モーメントの求め方を教えてください。 回答には円環はすべての部分が中

質量m 半径aの一様な円環の慣性モーメントの求め方を教えてください。
回答には円環はすべての部分が中心から等距離aにあるとあるのですがよくわかりません…

質問者からの補足コメント

• ∫a^2dmということでしょうか？

    補足日時：2018/07/09 12:05

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/09 13:01

No.1です。

「求め方」も書いておきます。

＞∫a^2dmということでしょうか？

基本はそういうことです。

微小体積の質量 dm は、針金の長さ dL として、線密度が ρ = m/(2パイa) なので、
　dm = [m/(2パイa)]dL　　　①
ここで、円環の微小中心角 dθ をとれば
　dL = a*dθ
なので、①は
　dm = [m/(2パイa)]dL = [m/(2パイa)]*a*dθ = [m/(2パイ)]dθ

これを質点とみなしたときの慣性モーメントは
　dI = dm * a^2 = [ma^2/(2パイ)]dθ
なので、円環全体の慣性モーメントはこれを θ について積分すればよいのです。

積分範囲は 0→2パイ ですから
　I = ∫[0→2パイ][ma^2/(2パイ)]dθ = [ma^2/(2パイ)]∫[0→2パイ]dθ
　 = [ma^2/(2パイ)] * 2パイ
　 = ma^2
です。

この回答へのお礼

めっちゃわかりやすいです！ありがとうございます！

お礼日時：2018/07/09 13:57

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/09 12:21

「円板」ではなく「円環」ですね？　円環の厚さ（半径方向、軸方向）は考えますか？

もしこの厚さを考えなければ、円環は「質点が円周上に連続したもの」ということです。「半径 a 」の針金で、「針金の径が非常に小さい（非常に細い針金）」というものをイメージしてください。
この「物体のイメージ」ができていないことには始まりません。

＞回答には円環はすべての部分が中心から等距離aにあるとあるのですがよくわかりません…

ということでは、「慣性モーメント」以前に「物体のイメージが描けない」ということですから。


すべてのベースとして、「質点」の慣性モーメントは分かりますか？
　I = mr^2
です。
http://www.buturigaku.net/main01/RigidBody/Rigid …
http://eman-physics.net/dynamics/angular.html

「円環」は、単にこの「質点」を円周上に連続的に分布させただけなので、質点の慣性モーメントと同じです。