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質量m 半径aの一様な円環の慣性モーメントの求め方を教えてください。 回答には円環はすべての部分が中

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質量m 半径aの一様な円環の慣性モーメントの求め方を教えてください。
回答には円環はすべての部分が中心から等距離aにあるとあるのですがよくわかりません…

質問者からの補足コメント

  • ∫a^2dmということでしょうか？

      補足日時：2018/07/09 12:05
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A 回答 (2件)

No.2ベストアンサー

  • 回答者： yhr2
  • 回答日時：

No.1です。

「求め方」も書いておきます。

＞∫a^2dmということでしょうか？

基本はそういうことです。

微小体積の質量 dm は、針金の長さ dL として、線密度が ρ = m/(2パイa) なので、
　dm = [m/(2パイa)]dL　　　①
ここで、円環の微小中心角 dθ をとれば
　dL = a*dθ
なので、①は
　dm = [m/(2パイa)]dL = [m/(2パイa)]*a*dθ = [m/(2パイ)]dθ

これを質点とみなしたときの慣性モーメントは
　dI = dm * a^2 = [ma^2/(2パイ)]dθ
なので、円環全体の慣性モーメントはこれを θ について積分すればよいのです。

積分範囲は 0→2パイ ですから
　I = ∫[0→2パイ][ma^2/(2パイ)]dθ = [ma^2/(2パイ)]∫[0→2パイ]dθ
　 = [ma^2/(2パイ)] * 2パイ
　 = ma^2
です。
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この回答へのお礼

めっちゃわかりやすいです！ありがとうございます！

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お礼日時：2018/07/09 13:57

No.1

  • 回答者： yhr2
  • 回答日時：

「円板」ではなく「円環」ですね？　円環の厚さ（半径方向、軸方向）は考えますか？


もしこの厚さを考えなければ、円環は「質点が円周上に連続したもの」ということです。「半径 a 」の針金で、「針金の径が非常に小さい（非常に細い針金）」というものをイメージしてください。
この「物体のイメージ」ができていないことには始まりません。

＞回答には円環はすべての部分が中心から等距離aにあるとあるのですがよくわかりません…

ということでは、「慣性モーメント」以前に「物体のイメージが描けない」ということですから。


すべてのベースとして、「質点」の慣性モーメントは分かりますか？
　I = mr^2
です。
http://www.buturigaku.net/main01/RigidBody/Rigid …
http://eman-physics.net/dynamics/angular.html

「円環」は、単にこの「質点」を円周上に連続的に分布させただけなので、質点の慣性モーメントと同じです。
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　　　　│
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　　　　│θ／
　　　　│／
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と書けることになります。

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　　= (8/3)パイρ[r^5 /5][0→L]
　　= (8/15)パイρL^5

これを、①を使って「球の質量」で表せば
　ρ = 3M/(4パイL^3)
ですから
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慣性モーメントは、「全体の質量：M」がどの範囲か、をきちんと見極める必要があります。
この問題も、「球殻のM」と「球のM」を混同すると頭の中がめちゃめちゃになります。

#1 さんのように、まずは「球のM」を使って、「球の密度」を求めます。つまり、「球のM」を「球の体積」で割った「密度=単位体積当たりの質量」です。
　ρ = M/[ (4/3)パイr^3 ] = 3M/(4パイr^3)　　　①

次に、半径 r、厚さ dr の「極めて薄い球殻」の体積を求めます。「球の表面積：4パイr^2」に「暑さ：dr」を掛けたものが球殻の体積...続きを読む

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Q円柱の慣性モーメントの求める問題です。

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Aベストアンサー

同じ問題を解いているサイトがありました。
http://www14.plala.or.jp/phys/mechanics/35.html

１／２は円盤の慣性モーメントの表現として含まれています。

半径ｒ、質量ｍの円盤を中心を通る面に垂直な軸の周りに回転させるときの慣性モーメントが（１／２）ｍｒ^２であるということです。１／２がなければｍｒ^２になりますね。これは距離ｒの所に質量ｍがあるという場合です。円盤ではなくてリングの場合になります。
１／２がついているということは円盤の場合、中心からの距離がｒ／√２の所に質量が集中しているとしたときと同等だということです。質量が広がりを持って分布している物体の回転を、同じ質量を持った、回転について同等な質点の回転に読み直しています。半径ｒよりも小さい所に質量が分布していますから当然前に着く数字は１よりも小さくなります。球の場合は円盤の場合よりも多くの質量が中心の近くに分布していますから前に付く数字は１／２よりも小さくなります。２／５＜１／２ですね。３／５とか４／５が出てくればおかしいということが分かります。
慣性モーメントを単に積分で定義された量とだけで理解しているとこういうチェックが出来ません。

運動方程式　力＝質量×加速度
に対応する回転に関する運動方程式は
モーメント＝慣性モーメント×角加速度
です。この式は
力＝質量×加速度　の両辺に回転半径ｒをかけたあと
加速度＝半径×角加速度
と書き換えれば出てきます。
（ｒの掛け算は本当はベクトル積ですが普通の掛け算で書いています。）

同じ問題を解いているサイトがありました。
http://www14.plala.or.jp/phys/mechanics/35.html

１／２は円盤の慣性モーメントの表現として含まれています。

半径ｒ、質量ｍの円盤を中心を通る面に垂直な軸の周りに回転させるときの慣性モーメントが（１／２）ｍｒ^２であるということです。１／２がなければｍｒ^２になりますね。これは距離ｒの所に質量ｍがあるという場合です。円盤ではなくてリングの場合になります。
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Q摩擦と速度の関係について

摩擦力について質問です。
ある物体に摩擦力Nを加えて移動させたとき摩擦係数をμとするとF=μNとなり、物体の移動速さは問題となりません。しかし、僕には同じ摩擦力でも速く移動させたほうが大きな摩擦力がかかる気がしてなりません。
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わかる方がいましたらよろしくお願いします。

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>本当に摩擦力に速さの項は関係しないのでしょうか？
どういう次元の話をされているのかによります。
理論的なモデルにおいて理論的な話であれば速度は関係しません。
厳密に言えば静摩擦と動摩擦では静摩擦＞動摩擦の関係となりますから、速度０とそれ以外は同列に扱えませんが。

現実の物体で試験したときにどうなるのかというと話は変わってきます。
日常的に感じることのできる摩擦係数の速度依存では、速度が大きい方が摩擦抵抗は小さくケースが多いと思われます。
たとえば非常に重たいものを滑らせて移動させる場合、勢いよく速度をつけて移動する方がやりやすく、低速で移動する方が力が必要になります。

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ちなみに摩擦についていうとこのほか液体の摩擦などもあり、この場合には速度が速いほど摩擦が大きくなるというものもあるので、必ずしも速度と摩擦係数の関係は一般的にはいえません。

>本当に摩擦力に速さの項は関係しないのでしょうか？
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剛体振り子の問題

下図に示す、1辺の長さa、質量Mの一様正方形板の1頂点を回転軸受で支持した剛体振子の固有角振動数は？
ただし、正方形板の振れ角θは小さく、sinθ≒θとみなすことができ、gを重力加速度の大きさとする。

答え：1/2√（（3√2g）／a）

どなたか解説お願いします。

Aベストアンサー

１）回転運動の方程式は
慣性モーメント×角加速度＝力のモーメント。

２）慣性モーメントについては
回転軸のまわりの慣性モーメント
＝重心のまわりの慣性モーメント＋質量×（回転軸から重心までの距離の２乗）。
重心のまわりの慣性モーメントはどこかに載っているはずですが、今の場合は M a^2 / 6 です。

３）角加速度は回転角の時間に関する２階導関数 (d/dt)^2θ です。

４）力のモーメント＝力の大きさ×回転軸と力の作用線の距離。
ただし、力と回転角の方向によってプラス／マイナスを考慮する必要があります。

５）以上より式を立て、sinθ≒θ という近似を使うと
(d/dt)^2θ = －{3(√2)/4}(g/a)θ
という式が得られます。右辺にはマイナス符号が必要です。微分方程式を解く必要がないのであれば、ここの {3(√2)/4}(g/a) が求める角振動数の２乗であるとして、答えを求めます。

６）微分方程式を解くのであれば、上の式よりθの一般解を求めます。解は三角関数で表わされます。そこから角振動数を求めます。（上の式の右辺にマイナス符号がないと、解は指数関数になってしまい、振動を表すものにはなりません。）

なお、角振動数の「角」と回転角の「角」は意味が違うので混同しないように注意しましょう。

１）回転運動の方程式は
慣性モーメント×角加速度＝力のモーメント。

２）慣性モーメントについては
回転軸のまわりの慣性モーメント
＝重心のまわりの慣性モーメント＋質量×（回転軸から重心までの距離の２乗）。
重心のまわりの慣性モーメントはどこかに載っているはずですが、今の場合は M a^2 / 6 です。

３）角加速度は回転角の時間に関する２階導関数 (d/dt)^2θ です。

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Q直方体と質点の慣性モーメント

問題<図は画像添付>
図のように質量Mの直方体（2a×2b×2c)の１辺（2c)を水平な軸に固定し、自由に回転できるようにした。直方体をつりあいの位置から角度θだけ傾けて、静かに放したときの直方体の運動について以下の問いに答えよ。ただし回転時の摩擦力、空気抵抗力は無視し、重力加速度をｇとする。また直方体は一様な密度の剛体とみなす。
（１）図の頂点Ａに質量mの質点を取り付けた。直方体だけのときと同じつりあいの位置となるように、図の頂点Ｂに質量m'の別の質点を取り付けたい。この質点の質量m'を求めよ。
（２）（１）の条件のとき、２つの質点を含む直方体全体の慣性モーメントI'（固定軸まわり）を求めよ。ただし、I'は直方体と各質点の慣性モーメントの和である。

（１）で２つの質点の運動方程式を立てて、直方体と質点の速度vが等しいことからv = 2√(a^2+b^2 ) ωとして運動方程式から導こうと思ったのですが、m'の運動方程式がm'dv/dt = m'gsinθとなりm'が消えてしまうのでm'が導けませんでした。
（２）で質点の慣性モーメントを求める際に質点の体積からdmを求めることになると思うのですが、質点の体積は１とかになるのでしょうか。dmをｘｙｚで表したいのですが・・・。

前問より直方体の回転運動方程式は４/３ m(a^2+b^2 ) dω/dt= -mgsinθということがわかっている。

どなたか解法がわかる方教えて頂けないでしょうか。よろしくお願いします。

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（１）図の頂点Ａに質量mの質点を取り付けた。直方体だけのときと同じつりあいの位置となるように、図の頂点Ｂに質量m'の別の質点を取り付けたい。この質点の質量m'を求めよ...続きを読む

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腕の長さは平面上の点と直線の距離ですから、点から直線に垂線を降ろしてその垂線の長さを求めるだけです。
その際、添付図の三角形の相似を利用します。

添付図では角OAHと角COAが等しいので△OACと△AHOが相似。
問題図からOAの長さが2a、ACの長さが2b。

もっとも、ちょっと考えれば計算しなくても答えは出るのですけど。

慣性モーメントは#2で書いたように

>I(剛体)＝ΣI(質点) = Σi mi ri^2

を使えば計算できます。

I = Σi mi ri^2 = m1 r1^2 + m2 r2^2 + m3 r3^3 + ・・・・・

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I(直方体)は

>前問より直方体の回転運動方程式は４/３ m(a^2+b^2 ) dω/dt= -mgsinθということがわかっている。

から

I(直方体) = ４/３ m(a^2+b^2 )

と与えられている。

(∵ 回転の運動方程式 ： (慣性モーメント)×(角加速度)＝(力のモーメント) )

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その際、添付図の三角形の相似を利用します。

添付図では角OAHと角COAが等しいので△OACと△AHOが相似。
問題図からOAの長さが2a、ACの長さが2b。

もっとも、ちょっと考えれば計算しなくても答えは出るのですけど。

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>I(剛体)＝ΣI(質点) = Σi mi ri^2

を使えば計算できます。

I = Σi mi ri^2 = m1 r1^2 + m2 r2^2 + m3 r3^3 + ・・・・・

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