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逆関数
高校数学にて

y=x^2+2x+2

の値域を答えよ

また逆関数しろ
逆関数での値域、定義域を求めよ

逆関数のグラフを書け

授業受けれなかったので逆関数わかりません。

わかりやすく詳しく解説お願いします。

質問者からの補足コメント

  • 申し訳ないです。
    定義域はx≧0

      補足日時:2018/07/10 23:21
  • 値域はy≧2でも可?

      補足日時:2018/07/11 01:11

A 回答 (4件)

逆関数の定義は x と y を入れ替えて整理したものということでよろしいでしょうか?


これをグラフで表すと元の関数のグラフを直線 y=x を軸にした対称な図形となります。
ここで注意しなければならないことは、元の関数が単調増加または単調減少でない場合、値を複数取ってしまう可能性があるということです。このような関数を多価関数と言います。
これを通常の関数 (単写関数) にするためには値域を制限する必要があります。

質問の問題の場合、
y=x²+2x+2
は単調増加ではないので逆関数は
x=y²+2y+2
y=±√(x-1) -1
のような多価関数となります。定義域は根号内が負にならない
x≧1
です。
ここで、値域を
y≧-1
に制限すると
y=√(x-1) -1
となり単写関数化することができます。
y≦-1
でも単写化はできます。この場合
y=-√(x-1) -1
となります。

ここで、元関数の定義域が
x≧0
ということなので、逆関数の値域も
y≧0
となりますから後者は不適切ですね。
この時、元関数の値域は
y≧2
です。
よって求める逆関数は
y=√(x-1) -1
であり、定義域は
x≧2
値域は
y≧0
となります。
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定義域は(x≧0)であるから、


x^2 (x≧0), xは増加関数。
y=x^2+2x+2は(x≧0)で増加関数
yの最小値は 2 (x=0のとき)
また、x→∞のとき、y→∞であるから、
値域はy≧2
y=x^2+2x+2       x=y^2+2y+2
をxについて解く。
(x+1)^2+1=y
x=±(y-1)^1/2-1
x≧0であるから、
x=(y-1)^1/2-1
ここで、xとyを入れ換えると、逆関数
y=(x-1)^1/2-1 (x≧2)
が得られる。
定義域は x≧2、値域は y≧0
定義域と値域が入れ替わる。
グラフは、y=xに関して元の関数y=x^2+2x+2(x≧0)と対称になる。
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まず、


y= x^2+2x+2
=(x+1)^2+1
より頂点の座標は(-1,1)だから値域は
y>=1となる。
逆関数というのは
y= (xの式)の場合にx=(yの式)に変形し、さらに文字を入れ替えたものである。
与式が
y= (x+1)^2+1より
y-1=(x+1)^2
与式の定義域はx>=0より
x+1=+√y-1
x=-1+√y-1
更に文字を入れ替えるので求める逆関数は
y= -1+√x-1
である。
定義域はx-1>=0からx>=1
値域はy>=-1
となる。
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与式の定義域が定まってないと逆関数はこの場合は存在しませんよ?

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できればわかりやすく解説つきでお願いします!!

y=√1-2x -1

Aベストアンサー

y=√(1-2x)-1 …(1)
の定義域は √内=1-2x≧0 から x≦1/2
値域は y≧-1

逆関数は
xとyを入れ替えて
x=√(1-2y)-1 から
(x+1)^2=1-2y
2y=1-(x+1)^2=-x^2-2x
∴y=-(1/2)x^2 -x …(逆関数)

逆関数の定義域と値域は(1)のxとyが入れ替わって
 定義域は x≧-1
 値域は y≦1/2
となります。

お分かりですか?

Q逆関数の求め方

f(x)=x^2の逆関数って
どう計算したらy=√xになるんですか?

計算過程を教えてください!
答えが合わなくて困ってます。

Aベストアンサー

もう良い回答が出ていますが。
この問題には2点ポイントがあります。

まず、
f(x)=x^2
Y=x^2
ですよね。
ここでYに初期条件が出てきます。
Y=x^2なのでY≧0という条件が手に入ります。
問題文にx、Yは実数だという条件が通常はあるハズです。

この初期条件を見落とさないという感覚は意外と身に付かず
東大に合格する学生でも秋ぐらいまで、できない事も多いです。
繰り返し問題を解くことでこの感覚は身に付きますので、頑張ってください。
この問題の難しいポイントはここにあります。
あとは機械的に解くだけです。

逆関数はx、Yを逆に書いて解けば良いので
x=Y^2 Y=±√x
これと初期条件Y≧0より
Y=√xとなります。


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