この問題の解き方を教えてください！！

この問題の解き方を教えてください！！

No.2 ベストアンサー 回答者： tmiyoshi 回答日時： 2018/07/12 14:13

(1)ド・モアブルの公式からz^5 = cos(5*(2π/5)) + isin(5*(2π/5)) = cos2π + isin2π = 1

より、n=5
(2)z^5=1の５乗根は、z^5-1 = (z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0と因数分解でき、
ｚはz^4+z^3+z^2+z+1＝０の５乗根の１つであるから、０
(3)∑(k=0~15)z^k = 1 + z^5 + z^10 + z^15 = 4
（z^6+z^7+z^8+z^9 = z^11+z^12+z^13+z^14 = z+z^2+z^3+z^4 = 0）
(4)z^4+z^3+z^2+z+1 = 0でu=z+(1/z)ｔ置くと、z^2(u^2+u-1) = 0となる。
z=0はz^5=1の解ではないから、両辺をz^2で割ると、u^2+u-1=0。これを解くと、
u=(-1±√5)/2
ｚは、z^2-uz+1=0の解として求まって、
z = (-1±√5)/4 ±i√(10±2√5)/4(１番目と３番目は複符同順)
この中で、z=cos(2π/5) + isin(2π/5)は、
z = (-1+√5)/4 + i√(10+2√5)/4に相当する
(2π/5°＝αとする。5α＝2πから2α＝2π-3α。両辺のsinをとると、sin2α＝sin(2π-3α)＝-sin3α。
2倍角と3倍角の公式を使ってバラすと、sinα＞0から2cosα=4sin^2α-3となり、4cos^2α+2cosα-1=0
からcosα、sinαを求めることもできる。）

No.3 回答者： tmiyoshi 回答日時： 2018/07/12 19:31

ごめんなさい。

（４）の問いを間違えていました。
(-1+√5)/4 + (-1-√5)/4 = -1/2
です。

No.1 回答者： 20170130 回答日時： 2018/07/12 09:04

(1)

zは複素平面で、r=1,θ=2π/5
zをかけることは複素平面上で2π/5回転させること
なのでn=5

(2)
z^5-1 の因数分解

(3)
うまいやり方もありそうだけど思いつかない
z^5=1, z^4+z^3+z^2+z+1=0 を使って地道に計算、簡単にしていくと1になる？

(4)
cos(2π/5)はzの実数部
cos(4π/5)はz^2の実数部
実数部だけでいえばz=z^4、z^2=z^3
z^4+z^3+z^2+z+1=0より　2(z+z^2)+1=0 :実数部だけの計算