FAQ 二重接線

4次曲線 c; -37 x^2 y^2-11 x^2-11 y^2+15=0
　　　　　には　二重接線　が　在る　と　美ち奴。

　　　　　　彼女が　平気で虚偽を述べていないことを
(イ) c の　双対曲線　c^★を　多様な発想で求め,
その　特異点を　求めて　二重接線を　求め　立証願います；


　　　　諸氏は　卒業して　長い年月を経たので　もう　
　　　　　　c1^★を　多様な発想で求められる筈；
　　　　　　
(ロ) c^★を　求めないで　直に　二重接線を　求め　立証願います；

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2018/07/12 23:20

対称性から見て、|x| + |y| = C の正方形を案配すると、もしかしてこの正方形の各辺に2回接触しそうですなー。

もちろん、第一象限（x≧0, y≧0）だけ考えれば十分。
　　x + y = C と元の方程式を連立したときに、ふたつの重解 (x,y) = (a,b)と(b,a) を持つ形になる、という風に攻めても良いし、あるいは方程式の両辺をたとえばxで微分して dy/dx = -1 を代入すると、
　　(d/dx)(-37 x^2 y^2-11 x^2-11 y^2+15)
　　= -37 ( 2x y^2 + 2 x^2 y (dy/dx)) - 22 x-22 y (dy/dx)
だから
　　2( - 37 x y + 11)(x - y ) = 0
となるけれど、しかし x=y は正方形に1回だけ接触する解なので無視すれば、接点(x,y)は
　　x y = 11/37
を満たすはず。元の方程式に代入して
　　-37 (11/37)^2 -11 x^2-11 y^2+15=0
から
　　x^2 + y^2 = 15/11 - 11/37
右辺は正なので確かに解はあって、
　　C = √((x + y)^2) = √(15/11 + 11/37)

No.1 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/12 19:52

直に求めてみました。

x=kとすると、
C: 37 x^2 y^2+11 x^2+11 y^2-15=0
は2次方程式となるから、Cとx=kが2点で接することはない。
したがって、2重接線を
Y=ax+b
のように置くことができる。

37 x^2 (ax+b)^2+11 x^2+11(ax+b)^2-15=0
37a^2x^4+74abx^3+(11a^2+37b^2+11)x^2+22abx+11b^2-15=0
x^4+(2b/a)x^3+((11a^2+37b^2+11)/ 37a^2)x^2
+(22b/37a)x+(11b^2-15)/ 37a^2=0・・・①

4次方程式が2つの重根をもつとすると、
(x-α)^2(x-β)^2=(x^2-2αx+α^2)( x^2-2βx+β^2)
=x^4-2(α+β)x^3+(α^2+β^2+4αβ)x^2-2αβ(α+β)x+α^2β^2=0・・・②
式①を
x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0・・・③
のように表す。

②、③より、
a3=-2(α+β)
a2=(α^2+β^2+4αβ)
a1=-2αβ(α+β)
a0=α^2β^2

a1/a3=αβ
(a1/a3)^2=a0
(a3/2)^2+2a1/a3=a2

(11/37)^2=(11b^2-15)/ 37a^2
(b/a)^2+22/37=(11a^2+37b^2+11)/ 37a^2
22 a^2=11a^2+11
a^2=1
11b^2=15*37+11^2
b^2=676/407

したがって、2重接線は、

y=±x±(676/407)^1/2　（複合同順ではない）

となる。