実験での誤差の扱い方(計算)

誤差の扱いを教えてください！
実験での測定値を理論式に入れて計算すると思いますが、有効数字は計算途中で考慮するのでしょうか？最後のみ考慮するのでしょうか？

例えば、
c＝{(112.42+7.95)(35.6-30.4)}/{100.03(98.8-35.6)}
の計算では(分子)＝有効数字4桁×有効数字2桁＝有効数字2桁とするのでしょうか？それとも、電卓に計算は任せて最後だけ有効数字2桁にするのでしょうか？

引き算がある時は有効数字の桁が減ることがありますよね？

No.3 ベストアンサー 回答者： head1192 回答日時： 2018/07/12 11:57

ふつうは最後に丸めます。

簡単な例でお話しします。
１４．５５３と１４．４６１を合わせた数を有効数字3桁で表すとします。

もし最初に3桁に丸めて計算すると、四捨五入によりそれぞれの数字は
　１４．６
　１４．５
となり、トータルは２９．１となります。

丸めないで計算すると
　１４．５５３＋１４．４６１＝２９．０１４
となり、答えは２９．０となります。

この場合、どちらが正しいかと言えば、丸めた影響が計算過程に含まれない後者の方です。

めったに起きない組み合わせですが、組み合わせ次第で起きることが確実な現象です。
なので、精度を保ちたいと思えば、丸めるのは最後の答えを書くとき、ということになるわけです。


あと、有効数字の表記範囲について確かなことを知りたいときは次の表記を参考にしてください。
　２９．０＝２．９０×１０の２乗
左の２．９０の桁がそのまま有効桁になるわけで、この場合3桁あるので有効数字3桁です。2桁にしたければ
　２．９×１０の２乗
と表記します。
そして有効数字を何桁に取るかは、ふつうは問題で指定されたり実験精度から求められたりします。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/07/12 12:36

JISでも途中の丸めはしないように規定してます。

途中計算による誤差の混入など考えなくて良いほどに充分に余裕のある
桁数で計算します。

今時のFPUなら、莫大な量の計算をしない限り
拡張倍精度(80bit)でやってしまって良いでしょう。

最終的な誤差と不確かさの評価は後でやればよいのです。
桁落ちも然りです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/12 11:40

基本は、「有効数字は多めにとっておいて、最後で最終桁数にそろえる」ということかと思います。

途中で「有効数字を多めにとっておく」ところで、下の方の丸め方を「四捨五入」にするか「切り捨て」にするかで、いろいろと流儀があるようですが、加減乗除のいろいろな計算が入るのであれば、その都度「十分な桁数をとって、末尾は四捨五入」などに統一すればよいでしょう。

＞の計算では(分子)＝有効数字4桁×有効数字2桁＝有効数字2桁とするのでしょうか？それとも、電卓に計算は任せて最後だけ有効数字2桁にするのでしょうか？

このようなケースでは、「電卓に計算は任せて最後だけ有効数字2桁にする」のが現実的な処理かと思います。
必要であれば、「精度計算」「誤差計算」をすればよいと思います。
つまり、各々の計測値の誤差から、計算に使う定数類は「誤差なし」と考えて、最終結果に「計測値の誤差」がどの程度影響するかを評価します。下記のような「誤差伝搬」理論を使います。
http://www.tagen.tohoku.ac.jp/labo/ishijima/gosa …
http://www.nagaoka-ct.ac.jp/~araki/s/denpa.html

＞引き算がある時は有効数字の桁が減ることがありますよね？

はい。「ほぼ同じ値の引き算」では、有効数字が大幅に減少することがあります。
「計算方法」や「計算順序」で有効桁数が確保できないか、工夫してみることも必要です。


なお、蛇足ながら、「計測した生データそのもの」は必ず残して記録しておくことが重要です。
あとで計算をやり直したり、第三者が別なやり方で評価することを可能とするためです。

No.1 回答者： garakabu12 回答日時： 2018/07/12 11:20

教科書に書いてある通り！