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Q:(1)省略
(2)赤色と青色がそれぞれ2個、黄色が1個の1個の合計5個のボールがある。この5個のボールから4個を選び1列に並べる。この並べ方は全部で何通りあるか。

(3)(2)の5個のボールから4個を選び1列に並べるとき、赤色のボールが隣り合う確率を求めよ。

と言う問題で、

A:(2)4個のボールの選び方は、次の[1]~[3]の場合がある。
[1]赤色2個、青色2個を選ぶ。
[2]赤色2個、青色1個、黄色1個を選ぶ。
[3]赤色1個、青色2個、黄色1個を選ぶ。
この各々の場合について、ボールを1列に並べる方法は、

[1]4!/2!2!=6(通り)[2]4!/2!=12(通り)[3]4!/2!=12(通り)
よって、並べ方の総数は 6+12+12=30(通り)

[誤答](3)(2)の結果より、「赤1、赤2、青1、青2、黄」と区別し、並べ方を考える。5つのボールを区別する場合、全ての並べ方の総数は5P4=120通り。赤いボールを一まとめとすると、赤色のボールが隣り合う場合の数は2!×4!通り。

求める確率は、2!×4!/5!=2/5

(正答。一部略)

5個のボールを赤1、赤2、青1、青2、黄とし、すべて区別して考える。
5個のボールから4個を選び1列に並べる方法は、5P4通り
赤1、赤2を含むように4個のボールを選ぶ方法は 3C2=3(通り)

(※ここの考え方が、解答を見ても分かりません。(2)の結果より、[1]、[2]、[3]の3つから[1]、[2]を選ぶ、と言う意味だとは思いますが、なぜこう言う考え方をするのかが分からないのです。)

このとき、赤1、赤2が隣り合うように並べる方法は、まず、赤1、赤2を1個とみなして3個のボールを1列に並べる方法が 3!通り そのおのおのについて、赤1、赤2の並べ方が2通りあるから、3!×2=12(通り)

よって、赤1、赤2が隣り合う並べ方は全部で、3×12=36(通り)
したがって、求める確率は 36/5P4=36/5.4.3.2=3/10

以上の解答で、とりわけ3C2通りの所の考え方、勘所が分かりません。初歩の初歩で躓いているのであろうと思いますが、何卒ご教示お願いいたします。

A 回答 (4件)

まず、あなたの考え方に沿うならば、


赤2こを1セットとして、(※)赤セット、青1、青2、黄の4つから3つ選んで並べる順列と考えなければならないので4P3通り。・・・この時点ではまだ赤の並び順は考慮せずに、赤が完全にくっついて一体化しているとみなす。
このうち赤セットが含まれなものは、青1、青2、黄の3つから3つ選んで並べる順列の3!
よって、赤セット、青1、青2など赤セットが含まれるものは4P3通-3!=(4-1)3!=3x3!
ここで赤セットを含む3x3!通りで、赤セットの順番(赤1―赤2or赤2―赤1)も考慮すると
その数は3x3!x2!通り
したがって求める確率は(3x3!)x2!/5P4=3x2/5x4=3/10
(あなたの間違いは残念ながら複数有るようですが、メインとしては赤を1セットとしたのに4!としているところです。赤セットー青1-黄色などの順列だから並べる場所が4か所ではなくて3か所となります・・・。その上で、更なる考え方の修正も必要です。例えば並べる場所が3か所だから、赤いボールを一まとめとすると、
赤色のボールが隣り合う場合の数は2!×※3!通り。と修正するだけでは不十分。
2!×3!は、仮に赤セットと青1、黄色の並べ方の総数を示していますので、青2のことは全く考慮されていません。そこまで考慮して修正する必要があります。上に示したように考えるのが1例))

次に模範解答
赤1、赤2を含むように4個のボールを選ぶのだから
4こ中、2こは赤色で決まりなので、残りの枠は2こ
この残り2枠を埋めるボールを、青1青2黄色の3個から選ぶので3C2という事
別の考え方としては赤以外のボール1個を除外すれば、赤1、赤2を含むように4個のボールを選ぶことができると考えて、
青1青2黄色の3個から除外する1個を選ぶ方法が3C1通りと考えても良い。
いずれの考え方を採用しても
赤1、赤2を含むように4個のボールを選ぶ方法は 3C2=3C1=3(通り)となり以下は模範解答の通りです。(もし、疑問があれば返信してください。)
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ⅰ(ア)・・・OK



(イ)・・・たぶん良いと思いますが、念のために一言
「赤1-赤2」とひとくくりにして、3つのボールの並び方を考える。ならば3!通り。
更に本来赤は一体ではないので、
赤1-赤2が3!通り
赤2-赤1も3!通り
→赤2つが隣り合う例「赤1-赤2-青1-青2」の並びは3!x2

(ァ)、(ィ)より、3C2×3!×2通りであり、求める確率は3C2×3!×2/5P4。・・・OK

ⅱ考え方は間違ってはいませんが、説明の順序が異なるだけでⅰと同じ考え方のようです。
(2つの全く別の考え方という事ではないようです。細かいことを言って申し訳ありません。)
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この回答へのお礼

おっしゃる通りでした。ありがとうございます!

お礼日時:2018/07/22 22:50

no2補足 


まずno2の
あなたの考えに沿うならばを読んでいただいたうえで、
赤セットと青1、黄色の並べ方の総数は2!×3!となるのは理解してもらえると思います。
同様に考えて
赤セットと青2、黄色の並べ方の総数も2!×3!
赤セットと青1、青2の並べ方の総数も2!×3!
従って赤1、赤2を含むように4個のボールを選ぶ方法は
2!×3!x3通りと考える方が分かりやすそうですね!^^
(したがって、求める確率2!×3!x3/5P4=3/10)
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この回答へのお礼

>masterkoto さん

詳細なご回答ありがとうございます!

当方にミスがありました。「2!×4!通り」ではなく、「2!×3!通り」ですね。それとmasterkoto 様のご回答を踏まえたうえで2つ考え方を出しました。誤っている点があればご指摘いただければ幸いです。

(ⅰ)「赤1-赤2-青1-青2-黄」と5つのボールを区別する。
組み合わせの考え方を用いれば、ボールの選び方と並べ方を分けて、次のように考える。

(ア)「青1-青2-黄」の3つから2つを選ぶ(例:「赤1-赤2-青1-青2」の「青1-青2」の部分。あるいは、「赤1-赤2-青2-黄」の「青2-黄」の部分。)これは3C2通りの選び方がある。

(ィ)並べ方:「赤1-赤2」とひとくくりにして、3つのボールの並び方を考える。そのとき、
3!×2通り

(ァ)、(ィ)より、3C2×3!×2通りであり、求める確率は3C2×3!×2/5P4。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

(ⅱ)「赤1-赤2」の組をひとまとめにし、「赤a」とする。
「赤1-赤2-青1-青2-黄」があるから、ここから4個を選ぶとき、
(ゥ)「赤1-赤2-青1-青2」→「赤a-青1-青2」
(ェ)「赤1-赤2-青1-黄」→「赤a-青1-黄」
(ォ)「赤1-赤2-青2-黄」→「赤a-青2-黄」
(※他に「赤-青1-青2-黄」の選び方があるが、赤が隣り合うことはないため除外)

(ゥ)、(ェ)、(ォ)の3つのケースについて、おのおの3!×2通りの並べ方があるので、
全部で3×3!×2通りの並べ方がある。

よって、求める確率は、3×3!×2/5P4。

お礼日時:2018/07/21 12:01

まず、(2)の結果を使って解いてみると、(赤2、青2を区別しない)


赤色のボールが隣り合う場合の数は、
[1]の中で3通り、[2]の中で6通りの計9通り、よって、9/30=3/10になります。
これが一番素直で簡単な考え方だと思います。
次に、
(3)のように、赤2、青2を区別して考えた場合ですが、上に書かれている、
「赤1、赤2を1個とみなして3個のボールを1列に並べる方法が 3!通り」とありますが、
これは赤玉以外の2個のボールの選び方には、区別してある青2個と黄色1個の3個の中から2個選ぶ場合がありますから、
3C2=3を掛けてあげる必要があります。それが上に書かれている、「赤1、赤2を含むように4個のボールを選ぶ方法は 3C2=3(通り)」
の意味です。
また、次のようにも考えることができます。
選んだ4個のボールの中で赤色のボールが隣り合う場合は、
赤赤xx
x赤赤x
xx赤赤
の並びが考えられますが、(ここで、xは赤以外の2個です。)
xxの所にはそれぞれ、青2黄1の3個から2個選んで並べる数、3P2=6通りになります。
それに、赤赤を入れ替えた2通りと上の3つ場合を掛けて計6x2x3=36通りになります。
従って36/120=3/10となります。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。よく理解できました。

お礼日時:2018/07/22 22:51

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