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R2の点(x,y),(x′,y′)に対して、
(x,y)−(x′,y′)=(x−x′,y−y′),

||(x,y)||=x^2 +y^2 と定める.以下の問に答えよ.ただし,R^2 の有界閉集合上の連続関数のみたす性質
は,どのようなものを用いるか明記した上で証明せずに用いてよい.
(1) 実関数f(x,y)はR2上連続で,ある点(x0,y0)に対してf(x0,y0) > 0であり,また f(x, y) = 0 (||x,y||→∞)をみたすとする.このとき,f (x, y) は R^2 上で最大値を
持つことを示せ.
(2) 実関数g(x,y)はR2上C1級で,
∂g(x,y)/∂x= 0, ∂g(x,y)/∂y= 0 (||(x,y)||→∞)
をみたすとする.このとき,ある定数L > 0が存在して,任意の(x, y), (x′, y′) ∈ R^2 に対して
|g(x, y) − g(x′, y′)| ≤ L||(x, y) − (x′, y′)||が成り立つことを示せ.

この問題がよくわかりません。なんとかして一変数関数にするために変数変換等を行いましたがうまくいきませんでした。どなたか解説お願いします。

質問者からの補足コメント

  • 訂正です。||(x,y)||=x^2 +y^2となっていますが||(x,y)||=(x^2 +y^2)^(1/2)

    です

      補足日時:2018/07/22 14:14

A 回答 (1件)

とりあえず、(1)の回答のみ投稿する。


(1) 実関数f(x,y)はR2上連続で,ある点(x0,y0)に対してf(x0,y0) > 0であり,また f(x, y) = 0 (||x,y||→∞)をみたすとする.このとき,f (x, y) は R^2 上で最大値を 持つことを示せ。
xに添え字nをつけたものをxnまたはx[n]と書く。xnとx[n]は同じとする。
1,f(x, y) = 0 (||x,y||→∞)をみたすので、任意に小さいδに対して、ある定数Mに対して||x,y||>Mならば、f(x, y)<δとなるMが存在する。f(x0,y0)≧δに対応するMを使うと、||x,y||≦Mに対して(x, y)は半径Mの円領域で有界閉集合である。
2、||x,y||≦Mに対して、f(x, y)は有界である。もし有界でないとすると、任意の整数nに対してf(x, y)>nとなる点がある。この点を(x[n], y[n])とすると、点列(x[n], y[n])は||x,y||≦Mの円内に無限個あり、少なくとも一つ集積点を持つ。これを(x[A], y[A])とする。点列(x[n], y[n])の中からこの集積点に収束する点列(x[m], y[m])を選び出すことができる。するとm→∞のときf(x[m], y[m])→∞となる。これは関数f(x,y)はR2上で連続という仮定に反する。
3、||x,y||≦Mの(x, y)に対するf(x, y)は上限を有する。これをUとする。
U≧f(x0,y0) > 0である。
Uが上限であると、任意に小さいδに対して、U-δ<f(x, y)≦Uとなるf(x, y)が存在する。もしあるf(x, y)が存在してf(x, y)=Uとなればこれが最大値である。
もしそういうf(x, y)が存在しないと仮定すると、δ[n]→0となる数列に対して、
U-δ[n]<f(x, y)<Uとなるf(x, y)が少なくとも一つ存在する。
この点を(x[n], y[n])とすると、点列(x[n], y[n])は||x,y||≦Mの円内に無限個あり、少なくとも一つ集積点を持つ。これを(x[B], y[B])とする。
点列(x[n], y[n])の中からこの集積点に収束する点列(x[m], y[m])を選び出すことができる。するとm→∞のとき、(x[m], y[m])→(x[B], y[B])となる。このとき
f(x[m], y[m]) →Uとなる。もしf(x[B], y[B])≠Uとすると、これは関数f(x,y)はR2上で連続という仮定に反する。何故なら、(x[m], y[m])→(x[B], y[B])のとき
f(x[m], y[m])→U=f(x[B], y[B])となることを点Bで連続というのだから。
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