この問題の解き方を教えてほしいです！ ある高校の英語試験の得点分布は平均70点で標準偏差10点の正規

この問題の解き方を教えてほしいです！

ある高校の英語試験の得点分布は平均70点で標準偏差10点の正規分布に従っている。いま36人を無作為に選んで１ヶ月間特訓をした。そして同じレベルの英語試験を行ったところ、平均は78点に上がった。特訓の成果はあったと言えるかについて、有意水準1%で検定せよ。数値は四捨五入して小数第2位で答えよ。


よろしくお願いします。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/08/02 11:34

＞ある高校の英語試験の得点分布は平均70点で標準偏差10点の正規分布に従っている。

これを「母集団」と言います。

＞いま36人を無作為に選んで

これを「標本」「サンプル」と呼びます。

母集団の平均も標準偏差も分かっているので、36人を無作為に選んで来れば
・その平均は70点と期待される
・その「平均値」のばらつき方は、母集団の標準偏差の σ/√N つまり 10/√36 = 5/3 になると期待される
ということになります。
（どうしてこう言えるのかは復習してくださいね）

なので「信頼度95%」で、36人の平均値のありかは
　70 - 1.96*(5/3) ～ 70 + 1.96*(5/3)
→　66.73 ～ 73.27
「信頼度99%」なら、36人の平均値のありかは
　70 - 2.57*(5/3) ～ 70 + 2.57*(5/3)
→　65.72 ～ 74.28　　　　①
だということが言えます。「1.96」とか「2.57」の値は、もっと有効数字が必要なら「標準正規分布表」から持ってきてください。

「平均点 78点」は、上記①の範囲に入らない、つまり「確率 1%未満のあり得ないことが起こった」ということで「信頼度99%で有意である」ということになります。
従って、「信頼度99%で、特訓の成果はあったと言える」ということです。（確率の話ですから、１%の危険率で外れます）

これを「検定」の筋書き通りに述べるのは、ご自分でやってください。
でも「特訓の成果はあったと言えるか」と問うているのに、「数値は四捨五入して小数第2位で答えよ」というのも変ですね。答は「有意である」か「有意とは言えない」のどちらかですから。