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ある整数が与えられた時、この整数(4284179)は、素因数分解可能で、素因数分解した時、2つの素因数を持つとした場合(541と7191)として、

(541+7191)/(541×7191)
という式を考える。

分母は、ある整数と同じ値だ。

この2つの素因数の差分
α=7191-541=7378
とする(必ずα>=0)。

分母を、
x(x-α) → 7191の二次方程式
x(x+α) → 541の二次方程式

とする。
分子は、分母の2項の足し算結果だけでなく、分母の式の第一次導関数(傾きの直線)
の式になっている。

2x-α、または、2x+α

そして、
x(x-1)=4284179
として、二次方程式の解の公式を解くと
約2070くらいになる。

これをグラフにすると、図だ。

以下のことが分かる


低い素因数の曲線(541)は、必ず、解の公式の曲線の内側に位置する。
それは、傾きの曲線の大小比較から、明らか。また、7191の曲線は、外側になる。

2
解の公式の値の組は、与えられた整数の素因数を構成していないし、無理数(これが大半だろう)だが、与えられた整数と一致する二項の積算の組で、その2項の差は最小の1になる。
つまり、そこから、無限へ曲線がシフトしたのが、7191曲線で、0側にシフトしたのが、541の曲線だ。

この事から、素因数の探索は、二次方程式の解の公式の解の内側の整数のxに絞られる(つまり、内側に、素因数がなければ、ある与えられた整数は素数となる)。
つまり、探索にかかる計算量は、解の公式から、1/2乗数レベル木分割で探索が可能である(2分木探索ではない)。

3
解の公式の値は、2つの素因数の中点の値になる。当然ですけど。

4
541の曲線と7191の曲線の、ある与えられた整数(Yの値)で、541と7191との交点の接線の傾きは、同じ、8460である。
つまり、傾きからも、素因数探索ができる可能性がある。

これらの性質って、既に、数学で知られてますか?(^.^)(-.-)(__)

「ある整数が与えられた時、この整数(428」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 訂正。541の曲線は、解の公式の曲線も
    x(x+1)であり、x軸のマイナス側にあるから、541曲線は、マイナス無限大側へシフトする

      補足日時:2018/08/03 23:16
  • 捕捉
    つまり、ある整数の積算を構成する二項の組の最小差1の組の曲線から解の公式が出てきくる。差α(これが整数)の組が、2つの素因数を構成すると言いたい。そして、高い素因数の曲線と低い素因数の曲線の、ある与えられた整数(Yの値)とそれぞれの値(Xの値)の接線の傾きの値は、整数で同じになる。素因数と二次方程式の解の公式の解との関係さ。

      補足日時:2018/08/03 23:35
  • 高い方の素因数は、全て、記載ミス。
    7919です

      補足日時:2018/08/04 14:40

A 回答 (1件)

つまらないことですが


この2つの素因数の差分
α=7191-541=7378
の引き算を見直してから再度説明をお願いします。
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