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この問題の答えで 、2βと等号で結ばれている2つの値はどのようにして出したのでしょうか?教えてください。

「この問題の答えで 、2βと等号で結ばれて」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • のせ忘れました

    「この問題の答えで 、2βと等号で結ばれて」の補足画像1
      補足日時:2018/08/04 13:30
  • 問題です

    「この問題の答えで 、2βと等号で結ばれて」の補足画像2
      補足日時:2018/08/04 13:31

A 回答 (3件)

1文抜けていたので修正しました。

no2の代わりにこちらを読んでください

問題文よりsinα=cos2β・・・①これが大前提
sinαに関しては公式から
sinα=cos(Π/2-α)・・・②
②を①に代入して
cos(Π/2-α)=cos2βという事です
(ここまでは理解されていると思います)

次に単純にcosの中身同士は等しいから
2β=Π/2-αとしたくなるがこれでは不十分
cosの値は2Πごと(1回転ごと)に同じものが現れるから
2β=Π/2-α
または
2β=Π/2-α+2π=5Π/2-α
または
2β=Π/2-α+4π=9Π/2-α
など2βに等しい角度は無数に存在する
この中で問題文に与えられたαβの範囲に適合している物は
2β=Π/2-α+2π=5Π/2-α

更にcosの性質(公式)から
cos(Π/2-α)=cos{-(Π/2-α)}だから
cos(Π/2-α)=cos2βなら
cos{-(Π/2-α)}=cos2β⇔cos{-(Π/2)+α}=cos2β・・・①
これも単純に2β=-(Π/2)+αとしたくなるが上と同様これでは不十分
2πごとに
2β=-(Π/2)+α
または
2β=-(Π/2)+α+2π=(3Π/2)+α
など2βに等しい角度は無数に存在する
このうち与えられたαβの範囲に適合している角度は
2β=-(Π/2)+α

∴2β=Π/2-α+2π=5Π/2-αからβ=5Π/4-α/2
2β=-(Π/2)+αからβ=-(Π/4)+α/2・・・画像
が導かれます。

なお、①のところは公式からとしましたが、単位円を用いて2βに等しい角が2つ存在することを見つけても良いです。
補足の画像ではその説明がされています
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この回答へのお礼

単位円で解く場合はどのようにすればいいのでしょうか

お礼日時:2018/08/06 11:46

問題文よりsinα=cos2β・・・①これが大前提


sinαに関しては公式から
sinα=cos(Π/2-α)・・・②
②を①に代入して
cos(Π/2-α)=cos2βという事です
(ここまでは理解されていると思います)

次に単純にcosの中身同士は等しいから
2β=Π/2-αとしたくなるがこれでは不十分
cosの値は2Πごと(1回転ごと)に同じものが現れるから
2β=Π/2-α
または
2β=Π/2-α+2π=5Π/2-α
または
2β=Π/2-α+4π=9Π/2-α
など2βに等しい角度は無数に存在する
この中で問題文に与えられたαβの範囲に適合している物は
2β=Π/2-α+2π=5Π/2-α

更にcosの性質(公式)から・・・①
cos(Π/2-α)=cos2βなら
cos{-(Π/2-α)}=cos2β⇔cos{-(Π/2)+α}=cos2β
これも単純に2β=-(Π/2)+αとしたくなるが上と同様これでは不十分
2πごとに

2β=-(Π/2)+α
または
2β=-(Π/2)+α+2π=(3Π/2)+α
など2βに等しい角度は無数に存在する
このうち与えられたαβの範囲に適合している角度は
2β=-(Π/2)+α

∴2β=Π/2-α+2π=5Π/2-αからβ=5Π/4-α/2
2β=-(Π/2)+αからβ=-(Π/4)+α/2・・・画像
が導かれます。

なお、①のところは公式からとしましたが、単位円を用いて2βに等しい角が2つ存在することを見つけても良いです。
補足の画像ではその説明がされています
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例えば、


cos60°=cos2β
だったらβはどうなるの?
まずはcos60°っていくつ?
そこの基礎が全くできてないうちに、いきなりαだβだという抽象論一般論に入っちゃダメ。
解らないまま解法を丸暗記して、式をいじれば答えが出るだろう、じゃダメ。
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