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数学の問題で、分からない問題がありましたので、質問させて頂きます。

空欄に当てはまる数や言葉を答えよ。

問1、

2次関数y=x²+ax+b (1≦x≦5)はx=2のとき最小となり、最大値は3である。
このとき、 a=〔 1 〕、b=〔 2 〕である。

問2、

長さ10cmの針金を曲げて長方形を作る。長方形の縦をxcmとするとき、
とりうるxの値の範囲は0<x<〔 3 〕である。このときできた長方形の面積をScm²とするとき、Sの最大値は〔 4 〕である。

出来れば、途中式や解き方を一緒に教えて頂けると嬉しいです。

ご回答、宜しくお願い致します。

A 回答 (2件)

図を添えましたが、分かりにくいかも。


計算は再確認してください。
不適切な個所は手直しを。

y=x²+ax+b (1≦x≦5)
=(x-a/2)²-a²/4+b
この関数は下に凸なのでx=2=-a/2
a=-4 x=2 で最小値を得る
y=x²-4x+b (1≦x≦5)
y(1)=1-4+b=3
b=6...不適
y(5)=25-20+b=3
b=-2
-a²/4+b=-4-2=-6
頂点位置は(2,-6)
y=x²-4x-2 となる

面積S=x(10-2x)/2
   =x(5-x)
   =-x²+5x
   =-(x-5/2)²+25/4
xの範囲は0<x<5...正の値
x=5/2で最大値を得る
頂点位置(最大)=25/4
「数学の問題で、分からない問題がありました」の回答画像2
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この回答へのお礼

図まで添えて下さり、有難うございます!
とても分かりやすい説明有難うございます!

お礼日時:2018/08/05 09:56


2次関数y=x²+ax+b (1≦x≦5)はx=2のとき最小となることより
そのグラフはx=2で頂点となる
したがってこの2次関数はy=x²+ax+b=(x-2)²+cと変形できることになる
次に、この2次関数のグラフは頂点(2.c)下に凸の放物線だから、
(1≦x≦5)の範囲でyが最大となるのはx=5のときとわかる
つまりx=5のとき最大値y=3
⇒y=(x-2)²+cに値を代入して
3=(5-2)²+c
C=-6
よって
y=(x-2)²-6=x²-4x-2
∴a=-4 b=-2

2
長方形の4つの辺の長さの合計が10cmだから
縦+横=5cm
したがって縦をxとおけば
横=5-x
長方形の辺の長さは0より大きいから
縦=x>0・・・①
横=5-x>0⇔x<5・・・②
①②より0<x<5・・・[3]

これを用いて
s=x(5-x)
=-x²+5x
=-(x-5/2)²+25/4
(0<x<5)
だからsが最大となるのはx=5/2のときで、その最大値は25/4・・・[4]
(最後の問題は、文字式を作るまでもなく、1つの針金で四角形を作って面積を最大にするためには、正方形を作るべきだと知っていれば答えの見当が付きそうです)
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この回答へのお礼

丁寧な回答、有難うございます!
助かりました!

お礼日時:2018/08/05 09:56

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