D = C −(−∞,−1], 即ち D は C から (−∞,−1] を除いた領域とする.z ∈

D = C −(−∞,−1], 即ち D は C から (−∞,−1] を除いた領域とする.z ∈ D に対して
f(z) = ∫(1,0)dt/(1+zt)
と定める.次の問いに答えよ.
(1) z ∈ Dに対して，m_z = min |1+zt| (0≤t≤1)とすると mz > 0 であることを示せ.また，h ∈ C が 0 < |h| < m_z をみたすならば，z + h ∈ D であることを示せ.
1t
(2) f はDで正則でf′(z)=− 0 (1+zt)^2dtとなることを示せ.
(3) z∈(−1,∞)のとき1+z=e^(zf(z))であることを示せ.
(4) D上で1+z=e^(zf(z))が成り立つことを示せ.
この問題について

(1)の後半h ∈ C が 0 < |h| < m_z をみたすならば，z + h ∈ D であることを示せの部分がわかりません。
(2)は実際に微分した関数と積分の計算が一致すればいいと思いますが途中で計算ができなくなりました。
(3) 両辺で対数を取ればわかると思いますがほかに必要なことはありますか？
(4)一致の定理よりわかると思いますが何か見落としているところはありますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2018/08/09 14:59

（1）の後半部分は、

もしz + h∈(-∞,-1]ならばz + h＝－1/ｔ（0＜ｔ≦1）と書けるから
|h|＝|1+zt|/t　となって|1+zt|≧m_z 、1/ｔ≧1だから|h|≧m_zとなって矛盾
このことから出てくる。
（2）
（1）によって1/(1+zt)は各t∈[0、1]に関してｚ∈Dて正則で
このｔとzの範囲で２変数ｚ、ｔの連続関数になっているので
f(z)はｚ∈Dで正則でf’(z)はf(z)を定義している積分記号の中の1/(1+zt)を
ｚで微分した関数で置き換えた積分に等しくなります。
（3）
実際にf(z)を計算して出します。-1＜ｚなので普通に積分できて
f(z)＝(1/ｚ)log(1＋ｚ)（ｚ≠0）f(0)＝1が出ます。
したがって。-1＜ｚでｚf(z)＝log(1＋ｚ)、゙1+z=e^(zf(z))まで出しておきます。
そうすれば一致の定理で（4）は明らか。