2×2行列の逆行列はいわずと知れた、
A=
(a b)
(c d)
に対し
A^(-1)=1/(ad-bc) *
(d -b)
(-c a)
ですよね。

でも3×3行列Xの逆行列X^(-1)の一般式って教科書に載ってないんですよね。
具体的にXが数値的に与えられてるときは基本変形を使って
(X E)→…→(E X^(-1))
と逆行列を求める方法は示されてるのですが一般式となると載ってない。
これは書こうとするととんでもなく面倒な式になるからなのでしょうか?

X=
(x_11 x_12 x_13)
(x_21 x_22 x_23)
(x_31 x_32 x_33)

の逆行列、表せるのであれば教えてください。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

行列 基本」に関するQ&A: 基本行列

A 回答 (1件)

> 3×3行列Xの逆行列X^(-1)の一般式って教科書に載ってないんですよね



そうですか、載っていないですか。さすがに書くのはちょっとだるいので、
載っているページを探してみました。

参考URLをどうぞ。

参考URL:http://www.cybernet.co.jp/products/matlab/inform …
    • good
    • 0
この回答へのお礼

あるんですね。しかも意外と簡単。意外でした。

ありがとうございました。

お礼日時:2001/07/19 18:03

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q5×5の逆行列の求め方

今5×5の行列
x^2 x^3 xy xy^2 x
x^3 x^4 x^2y x^2y^2 x^2
xy x^2y y^2 y^3 y
xy^2 x^2y^2 y^3 y^4 y^2
x x^2 y y^2 n
の逆行列を求めたいのですが
私が学習した範囲では4×4行列の逆行列を求めること
までしかしていないので、5×5の逆行列の求め方がわかりません。
ご存知の方教えていただけませんか?
お願いします。

Aベストアンサー

元の行列をA,単位行列をEとして,
  (A|E)
とかきます.ここで,「|」はAとEを仕切るためのただの仕切りです.
そして,(A|E) を列変換は用いずに行変換だけを用いて,
  (E|?)
となるまで,慎重に変形してください.このときの「?」が逆行列です.
ここでの行変換とは,行同士の定数倍を足し引きする操作をさします.

Q数学についての質問です。 行列Xの行列式を|X|とすると、逆行列X^(-1)の逆行列は |X^(-1

数学についての質問です。

行列Xの行列式を|X|とすると、逆行列X^(-1)の逆行列は
|X^(-1)|=1/|X|
となりますか?

Aベストアンサー

そうなります。

|AB|=|A| |B|なので、B=A^(-1)[←Aの逆行列です]と置くと、

左辺=|AB|=|A A^(-1)|=|E|=1
右辺=|A| |A^(-1)|

よって、|A| |A^(-1)|=1
ゆえに、|A^(-1)|=1/|A|

Q一般逆行列の求め方

6×4の行列の逆行列を計算しようとしたのですが,求め方がわからず困っています。以下に教えていただきたい逆行列を示します。

[-a2 a1 0 0]
[-a3 0 a1 0]
[-a4 0 0 a1]
[ 0 -a3 a2 0]
[ 0 -a4 0 a2]
[ 0 0 -a4 a3]

この行列のランクをmaximaを使って計算すると「3」だったのでランク落ちしていることがわかりました。
教科書で確認したところ、ランク落ちの行列には逆行列が存在しないと書いてあったので逆行列を作ることができないのでしょうか?
もしくは、ランク落ちを回避して逆行列を作ることができないのでしょうか?

Aベストアンサー

1列目を4列目に変えた行列
[ a1  0  0 -a2]
[ 0 a1  0 -a3]
[ 0  0 a1 -a4]
[-a3 a2  0  0]
[-a4  0 a2  0]
[ 0 -a4 a3  0]
で説明します。
まず、Aを3×3行列とし、B,C,Dを適切な次元を持つとして、上の行列を
[A B]
[C D]
と分割します。
X,Y,Zを適切な次元の任意の行列、A^-1をAの逆行列とすると、
[A^-1 - XCA^-1 - A^-1BY - A^-1BZCA^-1 X]
[Y                  Z]
が一般逆行列となります。
求めたい一般逆行列は上の一般逆行列の行を入れ替えたものになります。

参考
統計のための行列代数の上巻(D.A.ハーヴィル著)のp.131

Q(aのx乗−3)(aのx乗+8)の計算方法は、 =a^x × a^x − 3a^x + 8a^x +

(aのx乗−3)(aのx乗+8)の計算方法は、

=a^x × a^x − 3a^x + 8a^x +(−3)8

=a^x^2 + 5a^x −24

であっていますか?

Aベストアンサー

(a˟)ⁿ=a˟ⁿ=aⁿ˟ [ 例:a³˙²=a²˙³=a⁶ ]

このまま展開しても良いけどa˟=yとでも置けば
(y-3)(y+8))=y²+5y-24

y=a˟に戻すと
(a˟)²+5a˟-24

(a˟)²=a˟²=a²˟

∴a²˟+5a˟-24

Q逆行列 求め方

逆行列の求め方について。
以下の内容はすべてdet(A)≠0:逆行列が存在することを前提にします。

2行2列の場合は、添付画像のように逆行列を求めていました。

これは、通常3行3列などで逆行列を求める場合に使う
A^-1=A^~/|A|を簡単にしたものだと考えておりました。
式が見づらくてすいません。A^-1:逆行列、A^~:余因子行列です。

ここで質問なのですが、
2行2列の余因子行列は添付画像にある行列になるのでしょうか?
3行3列の場合はテキストなどに記載されている方法でわかるのですが
同様の方法では2行2列の余因子行列は作れません・・・

また、余因子行列を作る際に小行列式なるものが出てきます。
この小行列式と呼ばれるものは見た目は行列なのになぜ行列式
と呼ばれるのでしょうか?
URL:http://kagennotuki.sakura.ne.jp/la/node5.html


以上、ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

これは, そこの書き方が悪い. A' の個々の要素が「小行列式」.

Q(1)1/(1-x-x^2)=Σ(n=0~∞)a_n(x^n)に対して

(1)1/(1-x-x^2)=Σ(n=0~∞)a_n(x^n)に対して、a_0,・・・,a_10を求め、その規則性を見つけよ。そして、どうしてその規則性が成り立つのか説明せよ。

(2)(2-x)/(1-x-x^2)Σ(n=0~∞)a_n(x^n)に対して、a_0,・・・,a_10を求め、その規則性を見つけよ。そして、どうしてその規則性が成り立つのか説明せよ。

(3)(x^2)/(1-x-x^2-x^3)Σ(n=0~∞)a_n(x^n)に対して、a_0,・・・,a_10を求め、その規則性を見つけよ。そして、どうしてその規則性が成り立つのか説明せよ。

できるだけ、詳しく教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

それぞれ部分分数分解し、出てきた部分分数を
a/(x-c) = (-a/c)/{ 1-(x/c) } = (-a/c) + (-a/c)(x/c) + (-a/c)(x/c)^2 + …
と等比級数に展開してから、x の次数ごとにまとめれば吉。

Qn次の正方行列の逆行列の行列式を用いた求め方

タイトルの内容からして間違っているかもしれませんが、求め方を教えてください。
たとえば


   |0 -2 0|
A= |-1 3 1|=-10
   |4 2 1|


ですよね。この-10を用いて行列Aの逆行列を求めるのには、この先どのようにすればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

ところで-10はAではなくてdet(A)ですね。

まずD_ij(余因子)を求める。
余因子はn×n行列の場合

   |a_11 a_12 … a_1(j-1) a_1(j+1) … a_1n|
   |a_21 a_22 … a_2(j-1) a_2(j+1) … a_2n|
   |         :           |
D_ij= |a_(i-1)1 a_(i-1)2 …          |
   |a_(i+1)1 …               |
   |       :             |
   |a_n1 a_n2 … a_n(j-1) a_n(j+1) … a_nn|

上の式の場合
   | 3 1|
D_11= |   |=1
   | 2 1|

   |-1 1|
D_12=|   |=-5
   | 4 1|

   |-1 3|
D_13=|   |=-14
   | 4 2|

   |-2 0|
D_21=|   |=-2
   | 2 1|

   | 0 0|
D_22=|   |=0
   | 4 1|

   | 0 -2|
D_23=|   |=8
   | 4 2|

   |-2 0|
D_31=|   |=-2
   | 3 1|

   | 0 0|
D_32=|   |=0
   | 3 1|

   | 0 -2|
D_33=|   |=-2
   |-1 3|

すると
(D_11 D_12 D_13)
(D_21 D_22 D_23)
(D_31 D_32 D_33)

( 1  5 -14)
=(-2  0  8)
(-2  0 -2)

これをdet(A)で割る。

   ( 1  5 -14)
=-1/10(-2  0  8)
   (-2  0 -2)

掃きだし法の方が簡単なような気がするのですが。

ところで-10はAではなくてdet(A)ですね。

まずD_ij(余因子)を求める。
余因子はn×n行列の場合

   |a_11 a_12 … a_1(j-1) a_1(j+1) … a_1n|
   |a_21 a_22 … a_2(j-1) a_2(j+1) … a_2n|
   |         :           |
D_ij= |a_(i-1)1 a_(i-1)2 …          |
   |a_(i+1)1 …               |
   |       :             |
   |a_n1 a_n2 … a_n(j-1) a_n(j+1) … a_nn|

上の式の場合
   | 3 1|
D_11= |   |...続きを読む

Q(再投稿)R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義され...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
してる.
だって,それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる.

Q逆行列の求め方

  1 ,3 ,5 ,7 1行目
1^2,3^2,5^2,7^2  2行目 
1^3,3^3,5^3,7^3  3行目
1^4,3^4,5^4,7^4  4行目

4×4の行列の逆行列を求めよ。
ただ単に逆行列を求めるのであれば、計算は大変になるが、この行列を単位行列に変形することで求められるが、累乗をいかした解法を問題作成者は期待しているとおもうので、それに添った解答はどうなるのか。
よい解答を教えてください。

Aベストアンサー

その形から連想するのはファンデアモンデの行列式ですかね。
なので、行列式計算が簡単に行えます。
したがって、余因子が簡単に計算でき、ゆえに余因子行列がわかり、
最終的に逆行列もわかります。

今の問題ですと
行列式 = 3*5*7*(7-5)(7-3)(7-1)*(5-3)(5-1)*(3-1)
であり、(1,1)余因子は
a~_{11} = 3 * 5 * 7 * (7-5)(7-3) * (5-3)
ですね。

ファンデアモンデの行列式(van der Monde determinat)
http://mathworld.wolfram.com/VandermondeDeterminant.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_matrix
http://popcorn.cocolog-nifty.com/monna_kiss/files/vandermonde.pdf

参考URL:http://mathworld.wolfram.com/VandermondeDeterminant.html,http://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_matrix

その形から連想するのはファンデアモンデの行列式ですかね。
なので、行列式計算が簡単に行えます。
したがって、余因子が簡単に計算でき、ゆえに余因子行列がわかり、
最終的に逆行列もわかります。

今の問題ですと
行列式 = 3*5*7*(7-5)(7-3)(7-1)*(5-3)(5-1)*(3-1)
であり、(1,1)余因子は
a~_{11} = 3 * 5 * 7 * (7-5)(7-3) * (5-3)
ですね。

ファンデアモンデの行列式(van der Monde determinat)
http://mathworld.wolfram.com/VandermondeDeterminant.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Va...続きを読む

Q行列の証明です Aが正則の時 n←Nに対して(A^-1)^n=(A^-n)^-1の証明出来る方がいた

行列の証明です
Aが正則の時 n←Nに対して(A^-1)^n=(A^-n)^-1の証明出来る方がいたらお願いします!

Aベストアンサー

左辺がA^nの逆行列で有ることを示せば良い。

正則行列Bに対して異なる逆行列C, Dが存在すると
C=CE=CBD=ED=D で矛盾。従ってある正則行列に対して
その逆行列は1つしかない。

A^n(A^(-1))^n=A^(n-1)AA^(-1)(A^(-1))^(n-1)=
A^(n-1)(A^(-1))^(n-1)=・・・=A^2A^(-2)=AA^(-1)=E

なので (A^(-1))^nはA^nの逆行列 つまり (A^n)^(-1)


人気Q&Aランキング