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どこかで、平行線は無限遠では交わるとあった気がするのですがどうしてそうなるのでしょうか?

思い違いでしたらすみません。

質問者からの補足コメント

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A 回答 (9件)

世界地図がユークリッド


地球儀が非ユークリッド
世界地図では経線が平行で
地球儀では北極と南極で交わる
というのがわかりやすいイメージですが

ユークリッドと非ユークリッドでは空間の前提が違います

なので平行線が交わるというより、非ユークリッドではそもそも平行線公理が成立しない、というほうが本質的な理解だと思います

また、ユークリッドと非ユークリッドそれぞれが無矛盾であり且つ相矛盾しないのは、互いに別の視点だからなんです
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この回答へのお礼

ユークリッドと非ユークリッドの違いがなんとなく分かった気がします。ありがとうございました。

お礼日時:2018/08/15 07:40

ちょっと違うと思いますが(私も数学は得意でも専門でもないので)、四角い世界地図を思い浮かべてください。

そこには子午線として縦の平行線が書かれています。その線をずっと上(または下)まで行くと、地図の上端(または下端:以下省略)まで行くのですが、その上端(の線)というのは全て、実は北極点という1点だったりします。つまり地図上の縦の平行線は実は1点で交わっている。そんな感じのお話です。
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この回答へのお礼

なんとなく分かりました。ありがとうございました。

お礼日時:2018/08/15 07:42

「無限」というのは


 0.999999・・・(無限に続く) = 1
というようなことですから。
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この回答へのお礼

うーん。良く分かりません。

お礼日時:2018/08/15 07:43

そういう空間(数学的な空間)の中の話であって、


現実の空間(ユークリッド空間に近似)では永遠に交わったり接したりしません。
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この回答へのお礼

現実世界では、ないのですね。ありがとうございました。

お礼日時:2018/08/15 07:41

空間が曲がっていれば、そうなりますね。



赤道で、南北にひかれた平行線は、北極、南極で交わりますね。平らに思える地球が、球面になっているからです。
これと似たような話かと思います。

現実の空間でも、質量があると空間が曲がります。(一般相対性理論)。すると、光が真っ直ぐに進んでいるつもりが、曲がって進みます。
空間によっては、平行な光も、交わりますね。
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この回答へのお礼

一般相対性理論を考慮すると、空間が歪んで、平行線も交わるのですね。ありがとうございました。

お礼日時:2018/08/15 07:43

ロバチェフスキー型非ユークリッド幾何的には交わる平行線とそうでない平行線があります。



直線Lと点Pがあって、点Pは直線L上にないとすると、
ユークリッド幾何では、点Pを通る直線Lと平行な直線は一本しか引けませんが、
ロバチェフスキー型非ユークリッド幾何では、無限に引けます。

ただし、ユークリッド幾何の場合には、無限遠点は考えないので、
「平行線は無限遠では交わる」と表現するのはややミスリーディングでしょう。

参考文献:非ユークリッド幾何の世界 新装版 (ブルーバックス)
https://www.amazon.co.jp/%E9%9D%9E%E3%83%A6%E3%8 …
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この回答へのお礼

そうなのですね。ユークリッド幾何では無限遠点は考えないので、ダメなんですね。

お礼日時:2018/08/14 08:07

それは数学的には「交わることはない」の言い換えです。

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この回答へのお礼

そうなのですか。

お礼日時:2018/08/14 07:24

バニッシングポイントですよね。


作図的には交わらないと困ってしまいます。
先日、錯視と錯覚ってニュートンの別冊をみていたのですが、
人間がここまで進化してきた過程で、距離感の掴み方を
学習してきたようで、両目の一方が伊達政宗のようになっても、
空間認識ができるように、頭脳で補正する能力が備わってしまっています。

だからこそ、小学校で繰り返し繰り返し、
二次元の平面上で、どこまでいっても、どこまでもどっても、交わらないのが
平行線って、言われてきました、

でも、平行線は無限遠では交わるとあったなら、
それはまさに、夢とロマンの世界です。
歌詞とかにあってもおかしくはありません。
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この回答へのお礼

夢とロマンの世界ですか。ありがとうございます。

パニッシングポイントというのがあるのですね。初めて知りました。

お礼日時:2018/08/14 07:24

思い違いです

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この回答へのお礼

あらら。そうですか。

お礼日時:2018/08/14 07:23

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