実数a,b,cがa+b+c=3を満たしているときp=ab+bc+ca,q=abcとおく p=q+2の

実数a,b,cがa+b+c=3を満たしているときp=ab+bc+ca,q=abcとおく
p=q+2のときa,b,cの少なくとも１つは1であることを示せ。
この問題の解き方教えてください

No.6 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/08/22 14:04

a+b+c=3，p=ab+bc+ca，q=abc，p=q+2のとき

a,b,cの少なくとも１つは1であることを示せ.

xを未知の実数として式①の括弧をはずすと、次の式②は常に成り立つ。
(x－a)(x－b)(x－c)＿＿①
=x^3－(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x－abc
=x^3－(a+b+c)x^2+px－q＿＿②
これに、a+b+c=3，p=q+2を入れると式③となり、さらにx=1と置くと式④が成立する。
=x^3－3 x^2+(q+2)x－q＿＿③
1－3+(q+2)－q＝０＿＿④
①~④をつないで見ると⑤が成立する。
(1－a)(1－b)(1－c)=0＿＿⑤
ゆえに(1－a)、(1－b)、(1－c)のどれかは0になる。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/08/18 02:01

解と係数の関係を使えば簡単.

No.4 回答者： Dr-Field 回答日時： 2018/08/17 23:15

a＋b＋c＝3

ab＋bc＋ca＝abc＋2

a＝3－b－c を代入する。
3b－b^2－bc＋bc＋3c－bc－c^2＝3bc－b^2c－bc^2＋2
3b－b^2＋3c－bc－c^2＝3bc－b^2c－bc^2＋2
3b－b^2＋3c－4bc－c^2＋b^2c＋bc^2－2＝0
bc^2－c^2＋b^2c＋3c－4bc－b^2＋3b－2＝0
c^2(b－1)＋(b^2－4b＋3)c－b^2＋3b－2＝0
c^2(b－1)＋(b－1)(b－3)c－(b^2－3b＋2)＝0
c^2(b－1)＋(b－1)(b－3)c－(b－1)(b－2)＝0
(b－1){c^2＋(b－3)c－(b－2)}＝0
(b－1)(c－1){c＋(b－2)}＝0
だから、b＝1もしくはc＝1もしくはc＝2－b
c＝2－bの時には、a＋b＋c＝3より a＝1 となることがわかる。
以上より、a,b,cのいずれか1つは1であることが示された。

No.3 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/08/17 23:12

訂正です。

No.1の回答は途中で計算ミスしています。

a+b+c=3より、a=3－b－c。

またp=q+2より、ab+bc+ca=abc+2となる。

よって、a(bc－b－c)=bc－2と変形できる。⇐ここで計算ミスをしました。

ここで、x=bc、y=b+cとおくと、a=3－y、a(x－y)=x－2となる。よってこの２式より、

(3－y)(x－y)=x－2となるので、y^2－(3+x)y+2x＋2=0となり、これを因数分解すると、(y－2)(y－x－1)=0となるので、y=2またはy=x＋1となる。

ここからはb+c=2の場合と、b+c=bc＋1の場合の２つを考える必要があります。

ここからはあなたが考えてください。

No.2 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/08/17 23:05

間違えました。

無視してください。

No.1 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/08/17 22:44

あこれも途中まで。

こういう問題の場合はまず文字を減らすことを考えること。

a+b+c=3より、a=3－b－c。

またp=q+2より、ab+bc+ca=abc+2となる。

よって、a(bc－b－c)=bc+2と変形できる。

ここで、x=bc、y=b+cとおくと、a=3－y、a(x－y)=x+2となる。よってこの２式より、

(3－y)(x－y)=x+2となるので、y^2－(3+x)y+2x－2=0となり、これを因数分解すると、(y－2)(y－x+1)=0となるので、y=2またはy=x－1となる。つまり、b+c=2またはb+c=bc－1が成り立つ。

ここからはb+c=2の場合と、b+c=bc－1の場合の２つを考える必要があります。前者はとても簡単ですが、後者はもう少し変形が必要です。