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x^2+y^2=1の条件下で


f(x,y)=x^2+4√2 xy+3y^2という問題なのですか極座標を求める解き方で提出したのですが別の解き方で示せと書いてあったのですがどのような解放があるのでしょうか?陰関数定理かなーと個人的には思っているのですが違うような気もしてて…

gooドクター

A 回答 (2件)

f(x,y)=x^2+4√2 xy+3y^2__①


g(x,y)=x^2+y^2-1=0__②
とするとき、②の条件下で、①の最大値、最小値を求めよ。
行列の入った式は、正確に表示されないので、図にも書いたので、確認して下さい。
1、極座標を使った解法
x=rcosθ,y=rsinθと置くと、x^2+y^2-1 =r^2-1 =0よりr= 1
f(x,y) =x^2+4√2 xy+3y^2= cos^2θ+4√2 cosθsinθ+3 sin^2θ
∂f/∂θ=2cosθ(-sinθ)-4√2sin^2θ+4√2 cos^2θ+6 sinθcosθ
    =4√2 cos2θ+2 sin2θ=0, tan2θ=-2√2__③
これから1+tan^2(2θ)=1/cos^2(2θ)=9, cos2θ=±1/3
sinθ=±√((1-cos2θ)/2),cosθ=±√((1+cos2θ)/2)
これから、問題に適する解として、次のθ1とθ2が得られる。
解1:θ1≒ 54.74°,sinθ1=√(2/3) , cosθ1=1/√3
f(x,y) = 1/3+4√2・1/√3・√(2/3) +3 (2/3) = 1/3+4(2/3) +2=5__④
解2:θ2=θ1+90°≒144.74°,sinθ2=1/√3,cosθ2=-√(2/3)
f(x,y) = 2/3-4√2・1/√3・√(2/3)+1= 2/3-4(2/3)+1=-1__⑤
最大値f(x,y)=5と最小値f(x,y)=-1が得られる。この問題をこのままで終わりとしてしまうと、行列の理論も、二次形式の理論も知らないで終わってしまうので、出題者は、行列関連の理論で答えてほしいのだと思う。
2、二次形式の追加説明
最大値5となる角度θ1となる点Pのx,y座標は(cosθ1,sinθ1)= (1/√3, √(2/3))_⑥
最小値-1となるθ2となる点Qのx,y座標は(cosθ2,sinθ2)= (-√(2/3), 1/√3)_⑦
となる。
x軸上の基本ベクトルとy軸上の基本ベクトルを表す点(1,0)と(0,1)を、原点の周りにθ1の角だけ回転すると、点(1,0)と(0,1)は点Pと点Qにかさなる。回転前のxy座標を(X,Y)とし、回転後のxy座標を(x,y)とすると、回転前後の(x,y)と(X,Y)は、次の関係がある。
〔 x〕=〔 cosθ1 X+ cosθ2 Y 〕=〔  1/√3・X-√(2/3)・Y〕 __⑧
〔 y〕 〔 sinθ1   sinθ2  〕 〔 √(2/3)・X+ 1/√3・Y 〕
式⑧を式①のf(x,y)に入れると、式⑧となる。
f(x,y)=x^2+4√2 xy+3y^2
=(1/√3・X-√(2/3)・Y) ^2+4√2(1/√3・X-√(2/3)・Y)(√(2/3)・X+ 1/√3・Y)
    +3(√(2/3)・X+ 1/√3・Y)^2
=1/3・X^2-2√2/3・XY+ (2/3)Y^2+4√2(√2/3・X^2-1/3・XY-√2/3・Y^2)
    +2・X^2+2√2XY+Y^2
=5X^2-Y^2__⑨
これを二次形式f(x,y)=x^2+4√2 xy+3y^2の標準形という。
二次形式とは,二次の同次多項式のことです。例えば、x^2+4√2 xy+3y^2は x,y についての二次形式,
x^2+4xy+y^2+3yz+z^2+2xz__⑩ は x,y,z についての二次形式です。
二次形式f(x,y)=x^2+4√2 xy+3y^2=±1__⑪
はグラフを描くと、楕円、双曲線などの2次曲線になります。グラフの対称軸を座標軸にすると標準形になります。⑨の標準形はX^2/a^2-Y^2/b^2=±1で、これは双曲線を表します。
⑩のような二次形式は、3次元空間の中の楕円体などを表わします。
二次形式は対称行列と対応する。
二次形式は対称行列 A と変数を縦に並べたベクトル x を用いて x⊤Axという簡単な形で書けます。すなわち、x^2+4√2 xy+3y^2= x⊤Ax__⑫
式①の二次形式は式②の行列で表される。(註”⊤”は転置の記号)
A=〔 1  2√2 〕  __⑬,  x= 〔 x 〕 __⑭
  〔 2√2  3 〕          〔 y 〕
(転置記号”⊤”や、ベクトル、行列の掛け算の規則や記法がわからない場合は、参考書を見て下さい。)
3、ラグランジュの未定係数法
条件付き最大最小問題には定番のラグランジュの未定係数法というのがあるので、これを使って解く。最大最小の目的式を①、条件式を②とする。
f(x,y)=x^2+4√2 xy+3y^2__①
g(x,y)=x^2+y^2-1=0__②
h(x,y)= f(x,y)-λg(x,y)__③
として、③をx,yで微分して0とおいた式④⑤と条件式③を連立させれば、最大最小条件が出る、という方法である。③をx,yで微分して0と置く。式をすべて2で割って、少し簡単にすると
(1/2)∂h/∂x=x+2√2 y-λx=0__④
(1/2)∂h/∂y=2√2 x+3y-λy=0__⑤
式④⑤の連立方程式を行列を使って書くと
〔 1-λ 2√2 〕〔 x 〕=0__⑥ または 〔 1  2√2 〕〔 x〕 =λ〔 x〕__⑦
〔 2√2 3-λ 〕〔 y 〕          〔 2√2  3  〕〔y〕  〔 y〕
連立方程式⑥は、係数の行列式が0でない時は、普通に解けば、x=y=0という答えが出て、f(x,y)=0となって、最大、最小問題の解が得られない。⑥の係数の行列式が0の時は、連立方程式⑥が不定になり、x=y=0以外の答えが得られる。その条件式は⑧となり、これを特性方程式という。
| 1-λ 2√2 |=0__⑧  
| 2√2 3-λ |
行列式を計算すると(1-λ)( 3-λ)-8=λ^2-4λ-5=0__⑨
解はλ=5とλ=-1となる。これを(前節⑬の)行列Aの固有値という。④⑤の最大最小値と等しい。
⑥は一般的に書くと(Ax-λI)x=0__⑩、⑦はAx =λx__⑪
となり、これらを固有方程式という。この方程式はλがAの固有値のときだけ解xが存在する。
式⑥の解のベクトルを固有ベクトルxというが、式⑥からは、ベクトルの長さが定まらないで、
長さは式②により、1にきまる。xTx=1__⑫
λ=5のとき式⑥は⑬となり、固有ベクトルx1で式が成立する。
x1T x1=1だから|x1|=1。
〔-4  2√2 〕〔1/√3 〕=0、   x1=〔 1/√3 〕 、
〔2√2 -2 〕〔 √(2/3) 〕__⑬     〔 √(2/3) 〕 __⑭
x1T x1=〔1/√3 √(2/3) 〕〔 1/√3 〕=(1/√3)^2+(√(2/3))^2=1__⑮
             〔 √(2/3) 〕
また、λ=-1のとき式⑥は⑯となり、固有ベクトルx2で式が成立する。
x2T x2=1だから|x2|=1。
〔 2  2√2 〕〔 -√(2/3) 〕 =0、x2=〔-√(2/3)〕 
〔 2√2  4 〕〔 1/√3  〕     〔 1/√3 〕__⑯
するとA x1=5 x1__⑰,Ax2=-x2__⑱となる。
これからx^2+4√2 xy+3y^2= x⊤Axの値を求めると
A x1=5 x1__⑰の場合、f(x,y)= x⊤Ax= x1⊤5 x1=5 x1⊤ x1=5
A x2=-x2__⑱の場合、f(x,y)= x⊤Ax= x2⊤(-x2)=-x2⊤ x2=-1
「x^2+y^2=1の条件下で f(x,y」の回答画像2
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f(x,y)=x^2+4√2 xy+3y^2という関数に関して何をしろという問題なのか書いていない


ので、答えようがない。

もし、最大値、最小値を求めよ等の問題であれば、「ラグランジュの未定乗数法」を使えばいい。
具体的なやり方はググればいくらでも出てくる。
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