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ベクトルの和の交換法則、結合法則の証明が理解出来ません。画像の証明では図を用いていますがこれが全ての場合において成り立つ事を示しているわけではないと思います。

「ベクトルの和の交換法則、結合法則の証明が」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 当てはまらない場合があるとは一言も言ってません。
    この図で任意のベクトルに対しても成立する事を示してはいないのではないかと思っています。

      補足日時:2018/08/19 16:50
gooドクター

A 回答 (7件)

質問の中には書いて有りませんが、図は幾何べクトルを成分で「定義」


することを意図しています。図はまたベクトル和が個々の成分和になることを
示しているので、この定義と結論に問題があるとは思えません。

この図の考え方で表せない成分表示の幾何べクトルが存在すると
思えるならそれを明確に示せる筈です。是非示して下さい。
たった一つでよいのですよ。思っているだけでは何も始まりません。単なる妄想です。

私には有るように思えません。
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ご質問の添付画像にある図は、話の理解を助けるためのただのマンガですから、一切無視です。

肝腎なのはご質問の添付画像にある文章だけです。

 さて、もしこの文章が証明になっているのであれば、それが証明になるような「ベクトルの和の定義」がどこかに書いてある筈でしょう。定義したら、それがどんなに珍奇な定義であれ、定義は定義です。以後、それだけで行く。
 なので、まずは定義を持ってこなくちゃ話が始まりません。そして、「定義に照らして、この文章は証明になっているのかどうか」ということだけを考えるんです。

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以下余談です。質問者氏のセンスが結構良さそうだから、もしかしたら理解出来るかもしれないなと思い、付けておきます。

 普通は、ベクトルの和は(平面幾何学を使ってではなく)成分を使って定義します。(むしろ、平面幾何学がベクトルで定義されるのです。)ベクトルの足し算の演算を、普通の足し算と区別するために、以下では◯と書く事にします。
 aの第k成分を取り出したものを a[k]のように書く事にして、
  c[k] = a[k] + b[k]
が k=1,2,…, Nのすべてについて成り立つとき、その時に限り、ベクトルの足し算◯は
  a◯b = c
である。
とすれば定義っぽくみえますけれども、これだけでは、a[k] + b[k]の所に出て来る+がどういう演算なのかが分かりません。実際、たとえば 「a[k]とb[k]は「実数から正の実数への関数(たとえば(x^6 + 1)とか)であり、a[k] + b[k]とは b[k](x)/a[k](x)という関数のことだ」というのでも良い。もちろん、この場合、交換法則や結合法則なんてものは成り立ちません。

 「どの成分も実数であるN次元ベクトルの集合V」というものを考えた上で、
Vの要素であるa,b,cについて
  c[k] = a[k] + b[k]
が k=1,2,…, Nのすべてについて成り立つとき、その時に限り
  a◯b = c
である。ただし、 a[k] + b[k]の+は実数の足し算のことである。
と定義すれば、ようやくご質問の話になる。で、この定義のもとでなら、交換法則と結合法則の証明はいとも簡単です。これは成分である実数について、実数の足し算が交換法則と結合法則を満たすおかげですね。(上記のひねくれた例ではこれが満たされないから、交換法則も結合法則も成り立たなかった訳です。)

 ということは、話を実数に限らなくても
「どの成分も集合Aの要素であるN次元ベクトルの集合V」というものを考えた上で、
 Vの要素であるa,b,cについて
  c[k] = a[k] + b[k]
が k=1,2,…, Nのすべてについて成り立つとき、その時に限り、Vの足し算は
  a◯b = c
である。ただし、 a[k] + b[k]の+はAの足し算のことである。
と定義すると、
  もしAの足し算+がAについて閉じていて交換法則と結合法則を満たすならば、Vの足し算◯もVについて閉じていて交換法則と結合法則を満たす
という定理が証明できる。Aが何らかの数である必要もありません。(なお、「Aについて閉じていて」というのは、足し算+の答は必ずAの要素になる、という意味です。)

 こういう風に一般化して考えるのが、数学の醍醐味のひとつです。
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あなたの疑問はもっともです。


こんなのは証明ではありません。



自然数の加法が可換であること(a+b=b+a)を

3+5は8で5+3も8だから証明完了

と言っているのと同じです。

どれ程具体例を列挙しても証明にはなりません。

この証明には「ベクトルとはなにか」、「ベクトルの和とは何か」を数学的に定義することが必要ですが高校では教わりません。
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任意のベクトルに対して成立します。


なぜなら、上の例でa→もb→も一切条件が付いてないからです。条件が付いてないということは、任意のベクトルです。
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No.2です。



> この図でない場合です
「この図」は、aバーとbバーが図表示示されており、
この表示をもとにこの合成を求める説明となっています。

あるベクトルの表記方法はいくつもあります。
二つのベクトル合成の結果を求める例においては、
表記方法に応じて説明は違えども、結果は同じです。
結果が違ったら、間違えています。
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No.1です。



> 結果が1つである事を証明するにはどうしたら良いですか?
そういうことではなく、
あなたは、
「全ての場合において成り立つ事を示しているわけではない」
と言っておられるので、まずは、
「これに当てはまらない場合とは、何が考えられますか?」
に答えてください。

質問をはぐらかして、ほかの視点に誘導する行為は、慎むべきです。

数学は、たった一つしかない結果を求めることが使命です。
相対論は、先の成果である運動力学までも同じ帰結になると、
正しさを証明しています。
ご参考まで。
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この回答へのお礼

この図でない場合です

お礼日時:2018/08/19 16:37

> これが全ての場合において成り立つ事を示しているわけではないと思います。


これに当てはまらない場合とは、何が考えられますか?

図は、ベクトル合成の考え方の一つを示しているのであって、
考え方は複数あっても、すべての結果は一つです。
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この回答へのお礼

結果が1つである事を証明するにはどうしたら良いですか?

お礼日時:2018/08/19 15:54

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