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内積と外積の定義は解ります。
しかし、なぜその概念が出てくるのか?
必要性は何か?

ある人は、内積を定義すれば「なす角がわかる」から、と言っていましたが、
その考え方では、まだわからない角を使って定義することに私は納得いきません。

どなたか教えてください。よろしくお願いします。

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A 回答 (9件)

 こんばんは。

物理で内積や外積の考え方を利用します。内積は「仕事」の考え方で用いますし、外積はトルクモーメントの考え方で用います。内積は高校物理の範囲ですが、外積は大学教養レベルです。

この回答への補足

ありがとうございます。
仕事ですか。なるほどです。
porcoさんは、内積の定義ってどうお考えですか?

補足日時:2004/11/03 20:01
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> 誰が内積をどのような理由で…


>
余弦定理は、aa=bb+cc-2bc(cosA)です。これと三平方の定理とのズレ(の半分)が内積です。
もしも内積より先に余弦定理を習ったら、自然に出てきます。例えば、図形的(ユークリッド風?)に余弦定理を証明しようとすると、三平方とのズレの面積として現れると思います。

三平方の定理が参考になるかもしれません。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1059379

外積は分からないです。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1059379
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porcoです。

訂正です。外積の計算結果はベクトルです。もちろん、その大きさはスカラーということになります。内積の計算結果はスカラーです。
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数学的な議論をしたいのか物理的イメージをつかみたいのかイマイチ分からないのですが、イメージをつかむならこのページを参考にするといいでしょう。



参考URL:http://www.geocities.co.jp/HeartLand-Poplar/2391 …
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
どちらでもいいのです。
ただ、誰が内積をどのような理由で(必要性)
で作ったのか知りたいのです。
(誰は?今誰でもいいですが)

必要性として仕事?
違うとしても使われているところが仕事だと分かりやすいので。

お礼日時:2004/11/04 06:48

角度とはかけ離れた内積というものの例をあげてみます。



例えば
fn(x)=√2(sin2nπx) (n=1,2,…)
という無数の関数を考えます。

この無数の関数の中からfn(x)とfm(x)という2つの関数を選んできて、その積を0から1までで積分します。

つまり
∫{0~1}fn(x)fm(x)dx
という演算をするのです。

これを計算していくと

∫{0~1}fn(x)fm(x)dx
=∫{0~1}√2(sin2nπx)√2(sin2mπx)dx
=2∫{0~1}sin2nπx sin2mπx dx
=∫{0~1}(cos2(n-m)πx+cos2(n+m)πx)dx

この後はnとmが等しい過去となるかで結果が違います。
はじめはn≠mの場合から
=[1/2π(n-m) sin2(n-m)πx+1/2π(m+n) sin2(n+m)πx]{1,0}
=0

またn=mの時は
=∫{0~1}(cos2(n-m)πx+cos2(n+m)πx)dx
=∫{0~1}(cos0+cos4nπx)dx
=[x+1/4nπ sin4nπx]{1,0}
=1
となります。

ここでe1=(1,0)というベクトルとe2=(0,1)という2つのベクトルを考えてみましょう。
この中から適当に2つベクトルを選んで内積をとります。
するとe1同士、e2同士の時は1になりますが、e1とe2の時には0になります。
これはさっきの無数の関数の中から適当に2つ選んでその積の定積分を考えたときと全く同じ性質です。
つまりある関数a(x)が
a(x)=a1f1(x)+a2f2(x)+…
と表されるとき
この関数を
a=(a1,a2,…)
というベクトルで表すことにします。
(これは関数がベクトルの一種であることを意味しています)

これは今まで使ってきたベクトルからの類推です。
あるベクトルaが
e1=(1,0)というベクトルとe2=(0,1)を使って
a=xe1+ye2と書けるとき
a=(x,y)という表現をしたのと同じです。

さてこの関数のベクトルに対してどう内積を定義するべきでしょうか?
もう分かりますね。
a(x)とb(x)の内積は
∫{0~1}a(x)b(x)dx
ということになります。
こうして定義された内積は確かにN01の方の仰る性質を満たします。(自分で確認してくださいね)

これはもはや図形という意味を完全に持たないベクトルです。しかしこうやって内積を定義してやることで逆にこの関数の集合に角度という概念を導入することができるのです。例えば√2(sin2nπx)という関数と√2(sin2mπx)という関数(n≠m)は『直交』します。関数という角度とは無縁の世界に角度を持ち込むのに内積は一役かっているんですね。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
まだ、学校で積分を習っていないので何のことやら?

お礼日時:2004/11/04 06:42

 porcoです。

気がついたのですが、内積の定義も外積の定義もベクトル量をスカラー量にしていますよね。二つのベクトル同士の関係ってのは、位置関係(二つのベクトルの向きの関係)も含まれているわけだからそのベクトル同士の関係を二通りのスカラー量で表しているということが言えるのではないでしょうかね。私の解釈ですが。。。
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porcoです。

内積や外積の意味や解釈については、数学的には色々あるのかもしれませんが、私は、物理数学的な意味以外には分かりません。
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ANo.1です。

意図が伝わらなかったようなので、もう一度例をあげて説明します。

先にも書きましたが、内積というのは実は唯一の絶対的に定まったものなのではなくて、適当にいくつでも考えられる演算なのです。ただし条件(i)~(iv)は見たさなければなりません。ここで普通の内積以外の例を考えるために、平面の位置ベクトルというものを考えます。位置ベクトルですから、すべてのベクトルは平面座標を用いて(x,y)とかけます。もちろん位置ベクトルというのは平行四辺形を作図して足し算が定義できます。成分同士を足してもよい。また実数倍の操作ができるのも明らかなことです。

ここで二つの位置ベクトル(x,y)と(a,b)の内積を(x,y)・(a,b)=xa+2ybで定義するのです。これが内積の4条件(i)~(iv)を満たすことは確かめないといけないことですが、それは容易です。とにかく、こう定義したものが内積の条件を満たす以上、これを“内積”と呼んでも差し支えないわけです。そこで二つの位置ベクトル(1,0)と(1,1)というのを考えます。この二つのベクトルの内積は定義から簡単に計算できて、1になることがわかります。また自分自身との内積をそれぞれ計算すると(1,0)・(1,0)=1ですし、(1,1)・(1,1)=3となることがわかります。前に約束したことから、これらの(正の)平方根がベクトルの長さでしたので、それを計算すると|(1,0)|=1と|(1,1)|=√3となることがわかります。

余弦定理を通じて角度を定義するといいました。すなわち
cosθ=(a・b)/(|a||b|)
だったわけです。注意しておいて欲しいのは|a|などは絶対値ではなくて、ベクトルの長さだ、ということです。これは内積を導入して初めて決まるものです。さて、さきほどの(1,0)と(1,1)を思い出すと、内積と長さは全部計算されているわけだから、この二つの位置ベクトルのなす角をθとおけば、それは、
cosθ=1/√3
を満たす、ということです。これを満たすθは計算できませんので、電卓か何かで近似値を求めると約54.7°になることがわかります。普通の平面を思い出されてください。(1,0)というのはx軸上の点です。(1,1)はx軸から45°上向きにありませんか?

要するに、いま適当に考えた内積というのは、通常の平面(ユークリッド平面といいます)とは異なったものになっているということです。角度も長さも直感とは異なるものを与えています。

再度言いますが、“角度”や“長さ”といった計量は、我々は自然に決まっているものだとどうしても考えてしまい勝ちですが、実はそれは間違いで内積を導入することによって初めて決まるものなのです。我々が普通に考えている内積(ユークリッド内積といいます)は、位置ベクトルの考え方を使えば(x,y)・(a,b)=xa+ybで定まる内積です。先ほど僕が与えた内積と微妙に違うことがお分かりになると思います。小学校以来、角度が先見的に分かっていると大抵の方は思っていますが、実はそこには暗黙の内積が定まっていて、だからこそ角度が決まっていたのです。その意味で“余弦定理”とは確かに「定理」と名前はついていますが、実はただの角度の定義に過ぎない、と言うこともできます。

なおこの他の内積の例もいくらでも考えることはできます。
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この回答へのお礼

>二つの位置ベクトル(x,y)と(a,b)の内積を(x,y)・(a,b)=xa+ybで定義するのです。

教科書では、
a・b=|a||b|cosxを習った後に、成分での
a・b=a_1b_1+a_2b_2 を習したが・・・。

お礼日時:2004/11/04 06:45

余弦定理


a・b=|a||b|cosθ
というのものがあります。

恐らく内積がこの右辺で定義されているとお思いになって、まだ分からぬθをもってして内積を定義しているのではないか、とのことだと思いますが、そういう話なのではありません。

高校数学の範疇で話をします。ベクトルというのは向きと長さを持った矢印だと思います。これらは普通に矢印の終点と始点をつなぎあわすことによって、足し算というものを考えることができます。また向きを変えずに長さをα倍することによって、いわゆるスカラー倍というものが考えられます。

いまはこれだけの演算しか考えられないのですが、ここで内積と呼ばれる演算を無理やり考えるのです。内積というのは二つのベクトルa、bに対して実数を対応させるもので、それは普通a・bと書きます。ただし約束があって、何でもかんでも内積になるわけではありません。次の3条件が満たされることが条件です。

(i) 自分自身との内積は必ず0または正になり、0になるときは、0ベクトルである。すなわちa・a≧0であり、a・a=0⇔a=0である。
(ii) aとbの内積はbとaの内積に等しい。すなわちa・b=b・aである。
(iii) ベクトルの足し算に関して分配法則が成り立つ。すなわち(a+b)とcの内積はaとcの内積とbとcの内積の和に等しい。式で書けば(a+b)・c=a・c+b・cである。
(iv) ベクトルaのα倍とbの内積は、aとbの内積のα倍に等しい。すなわち(αa)・b=α(a・b)である。

これらの条件を満たすということは数学用語で言えば、正定値双線型形式ということになります。

平たく言えば、内積というのはそもそも角度などとは無関係に、ただそこにベクトルというものがあれば考えることができるようなものなのです。

そこでこの内積をとりあえずまずはじめに考えて、それから余弦定理でもって角度を導入するというアイデアが考えられます。

ちなみに我々が普通に考えている内積をユークリッド内積と呼ぶのですが、これ以外の内積を考えることも可能です。そしてこのユークリッド内積と異なる内積から定める“角度”は、我々が普通に考えている角度とは異なるものになります。たとえば我々が45度と思っている角が、別の内積から定まる角度によって計ると30度になる、ということもありえるのです。

さらにもうひとつコメントをしておくと、ベクトルaとベクトルaはまったく同じ向きを向いていますので、なす角を0と考えるのが自然です。そうするとcosθは1になります。ということは内積a・aというのは|a||a|=|a|^2ということだと思えます。要するにaの長さの二乗なわけです。普通我々は長さというものは絶対的に存在している、と思っていますが、抽象的な数学においては、まだ長さと言うものすら定まっていない対象を考えます。ベクトルとは“向き”と“長さ”を持った矢印といいましたが、より一般には、単に“足し算”と“スカラー倍”(長さを実数倍する)が定義されさえすればよいのです。そういうベクトルにはそもそ“長さ”とか“二つのベクトルのなす角”などというものはどう考えていいのかさっぱりわかるものではありません。ところが内積を考えると、余弦定理を通じて角度を定めることができますし、自分自身との内積が長さの二乗になるわけだから、自分自身との内積の平方根をとればそれを“長さ”と思うことができます。この意味で内積のことを“計量”(角や長さを計ることができるようになる)と呼ぶことがあります。

なお外積というのは二つのベクトルから新たなベクトルを生み出す演算で、空間における平行六面体の体積を求めたりするときなどに活躍したりしますが、詳しい説明は省略します。

この回答への補足

ありがとうございます。
>恐らく内積がこの右辺で定義されているとお思いになって、
とお書きになっていますが、
では、内積をどう定義するのでしょうか?

補足日時:2004/11/03 19:53
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