数列について。

次の問題が分かりません。詳しく教えていただけると幸いです。
定数x，yに対して，an=x^n+y^nで定義される数列{an}(n=1,2,…)がある．a1,a2,a3は整数で
(i)a2=-4 (ii)a3は3で割って1余る をみたすとき，次の各問いに答えよ．
(1)a1は6で割って4余る整数であることを示せ．
(2)a1=-2のとき，a(n+2),a(n+1),anのみたす関係式を求めよ．また，このとき
an=2^(n+1)(nが3の倍数のとき)またはan=-2^n(nが3の倍数でないとき)と表されることを示せ．
大変恐縮ですが。
前回のは、分かりにくい解説でしたので、なるべくかみ砕いた解説をお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 

  (1)からもう一度本当に噛み砕いて、解説していただけると幸いなのですが。大変恐縮ですが。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/08/23 19:17

• 

  a2<0よりx,yは複素数であるから、x1,x2,y1,y2を実数として
  x=x1+ix2
  y=y1+iy2
  とおくことができる。
  
  a1= x1+y1+i(x2+y2)=実数
  より、
  x2+y2=0
  x2=β(>0)
  y2=-β
  とおく。
  
  a2=(x1+iβ)^2+(y1-iβ)^2
  =x1^2+y1^2-2β^2+i(x1-y1)β=-4
  より、
  x1=y1=α
  a2=α^2-β^2=-2
  a1=2α
  最初からわかりません。ｘ＝ｘ２＋iｘ１でもいいと思うのですが。
  教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/08/24 10:15

• 

  OKです。a３＝（α＋iβ）＾３＋（αーiβ）＾３
  α＾３＋３α＾２（iβ）＋３α（iβ）＾２＋（iβ）＾３＋α＾３－３α＾２（iβ）＋３α（iβ）＾２－（iβ）＾３
  ＝２α＾３＋６α（iβ）＾２
  でしょうか？教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
  間違いがあれば、ご指摘願います。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/08/24 15:34

• 

  3で割った場合の余りの検討なのでαを3で割った場合の余りで分類して考える
  αを3で割った余りが０のとき　a3は3で割り切れる　条件に合わない
  αを3で割った余りが1のとき
  　-4αは余り2、α^2+3は余り1なので　a3の余りは2　条件に合わない
  αを3で割った余りが2のとき
  　-4αは余り1、α^2+3は余り1なので　a3の余りは1　条件に合う
  この部分の計算が少し変だなと思うのですが。すみません。
  教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
  揚げ足をとるようですみません。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/08/25 16:47

• 

  No.1を希望します。
  整理
  a(n)=x^n+y^n　で定義され、a1、a2、a3が整数でa2=-4であれば
  x=α+iβ とすると
  y=αーiβ
  a1=２α
  a2=α＾２－β＾２=-4
  これでよろしいでしょうか？OKです。
  教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。（２）を教えていただきたいです。

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/08/26 20:52

• 

  すみません。言っている意味がよくわかりません。
  もう少し詳しく教えていただけると幸いです。

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/08/27 11:33

• 

  なぜ、a2が違うのでしょうか？
  よくわかりません。そう書かれているはずなのですが。
  どうしてでしょうか？
  教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
  （３）の説明は、全くわかりません。
  すみません。理解不足で。

    補足日時：2018/08/27 12:18

• 

  数学的帰納法の例でお願いできますでしょうか？
  関係式は、－２＊a(n＋１）＝a（ｎ＋２）＋４＊a（n)
  α＝－１、β＝±√３でしょうか？
  間違いがあれば、ご指摘願います。
  教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。

  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/08/27 20:53

• 

  すみません。揚げ足をとるようで、申し訳ないのですが、なぜ、n≦kなのでしょうか？教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。

  No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/08/28 14:15

• 

  場合分け2と、場合分け3がわからないので、教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
  もう少し詳しく教えていただければと思います。大変恐縮ですが。

  No.11の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/08/30 16:31

No.12 ベストアンサー 回答者： 20170130 回答日時： 2018/08/30 17:41

場合分け２：kが3の倍数+1のとき

　k-1が3の倍数、k+1は3の倍数ではない
　a(k-1)=
　a(k)=
　これを①に代入
　a(k+1)=　　：②成立確認

No.11 回答者： 20170130 回答日時： 2018/08/28 15:08

間違いの指摘は歓迎ですが、指摘内容を分かるように説明していただければ幸いです

ご指摘の「なぜ、n≦kなのか」の意味を図りかねておりますが
「なぜ、（よくみられる数学的帰納法ではn=kなのに）n≦kなのか」という意味だとすれば
n=k+1 の場合を導くにあたって、n=k および n=k-1 で成立していることを条件にしているため、n=k で成立だけでは足りないと考えたからです

当方の解釈違いなら追加説明をお願いします、

No.10 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2018/08/28 11:25

私は 20170130氏の懇切丁寧という言葉をはるかに超越した熱心な回答に、ただただ感動しております。

普通の人はなかなかここまではやれず、途中で投げます（笑）。知恵袋やOKwaveでそんな例をいっぱい見てきましたから。

No.9 回答者： 20170130 回答日時： 2018/08/28 10:24

－２＊a(n＋１）＝a（ｎ＋２）＋４＊a（n)

降順で整理
a(n+2)+2*a(n+1)+4*a(n)=0

数学的帰納法による説明例
条件）
a1=-2,
a2=-4,
a(n+2)=-2*a(n+1)-4*a(n) ：項番号を1つ移動させた a(n+1)=-2*a(n)-4*a(n-1) を①式と呼ぶことにする

であれば

示すこと）
a(n)が
a(n)=2^(n+1) :nが3の倍数
a(n)=-1*2^(n) :nが3の倍数でない　：まとめて②と呼ぶことにする
と表される

数学的帰納法ステップ１　初期条件成立
a1=-2=-1*2^1 ②成立
a2=-4=-1*2^2 ②成立

数学的帰納法ステップ２　n≦k で成立とすれば n=k+1で成立を示す
場合分け１：kが3の倍数のとき
　n≦k で成立、kが3の倍数、k-1 および k+1 は3の倍数でないので
　a(k)=2^(k+1)
　a(k-1)=-1*2^(k-1)
　これを①式に代入
　a(k+1)=-2*(2^(k+1))-4*(-1*2^(k-1))=-2*(2^(k+1))+1*(4*2^(k-1))=-1*2^(k+1)：②成立
場合分け２：kが3の倍数+1のとき
　省略　ご自分で確認してください
場合分け３：kが3の倍数+2のとき
　省略　ご自分で確認してください

数学的帰納法ステップ３　成立宣言
以上の推論から②は全ての正の整数nで成立

No.8 回答者： 20170130 回答日時： 2018/08/27 15:31

a(n)=x^n + y^n :問題文に書かれている定義

よって
a1=x+y
a2=x^2 +y^2
a3=x^3 +y^3

ここで、x=α+iβ とおくと y=α-iβ　：αは整数、β^2は整数：a1,a2,a3が整数より

a1=x+y=(α+iβ)+(α-iβ)=2α
a2=x^2+y^2=(α+iβ)^2+(α-iβ)^2=2(α^2-β^2)　：以前の記述でミスがあったかもしれませんが、そのミスをそのまま書くのは実際に手を動かしてないからではないでしょうか

a(n+2),a(n+1),anの満たす関係式を導きたい

a(n+2)=x^(n+2) + y^(n+2) ：x^(n+2)=x*x^(n+1)からa1*a(n+1)を計算してみる

a1*a(n+1)
=(x+y)*(x^(n+1) + y^(n+1))
=x*(x^(n+1) + y^(n+1))+y*(x^(n+1) + y^(n+1)) ：分配法則
=x^(n+2) + x*y^(n+1)+y*x^(n+1) + y^(n+2)　：分配法則
=x^(n+2) + y^(n+2)+x*y^(n+1)+y*x^(n+1) 　：並び替えただけ
=x^(n+2) + y^(n+2)+xy(x^n+ y^n)　結合法則、うしろの２項を共通なxyでくくる
=a(n+2)+xy*a(n)

a1*a(n+1)=a(n+2)+xy*a(n) 　：上の計算の最初と最後をもう一度書いた

これから、a1とxyが計算できれば、a(n+2),a(n+1),anの満たす関係式ができる

a1は与えられた

xyは
方法１
　2xy=(x+y)^2-(x^2+y^2)　を使って計算
方法２　
　a1=x+y=(α+iβ)+(α-iβ)=2α=-2
　a2=x^2+y^2=(α+iβ)^2+(α-iβ)^2=2(α^2-β^2)=-4　からα、βを出し
　xy=α^2+β^2　を使って計算

続きを書く条件はNo.7と同じとします

自分の手で一行一行変形のやり方を確認しながら書いて確認すること（手を動かす、手で覚える）

No.7 回答者： 20170130 回答日時： 2018/08/26 23:19

a2=α^2-β^2 は正しいでしょうか？もう一度確認してください

よくある問題に、x+y=a、xy=b のときに　x^2+y^2、x^3+y^3 をaとbで表すという問題がありますが、それと似たやり方を考えます

a(n+2)=x^(n+2) +y^(n+2) なので、x^(n+2) 、y^(n+2) を作るために
a1*a(n+1)を考えると

a1*a(n+1)=x^(n+2) +y^(n+2) +x*(y^(n+1)) +(x^(n+1))*y
=x^(n+2) +y^(n+2) +xy*(x^n +y^n)

整理すると

a1*a(n+1)=a(n+2) +xy*a(n)

a1は(2)で与えられた条件から -2

xyは (1/2)((x+y)^2 -(x^2 +y^2))=(1/2)(a1^2-a2)から計算しても良いし
a1=2α=-2、a2=2*(α^2-β^2)=-4からα、β^2が計算できるので、xy=α^2+β^2から計算しても良いと思います

これで、a(n+2),a(n+1),anの満たす関係式はできるはずなので結論はご自分で

最後は
an=2^(n+1)(nが3の倍数のとき)またはan=-2^n(nが3の倍数でないとき)と表されることを示せ
の部分ですが、

示すだけなら上で求めた関係式を使って数学的帰納法で示せると思います
また
前回No.2様ご回答のように、直接導くことで示せます

説明が必要なら、上で求めたa(n+2),a(n+1),anの満たす関係式　および　αとβの算出結果を補足してください
（数学的帰納法の例と直接導出のどちらにするかも記載してください）

No.6 回答者： 20170130 回答日時： 2018/08/26 08:09

a3=-4α(α^2+3)

αを3で割った余りが０のとき　a3は3で割り切れる　は自明だと思うので
αを3で割った余りが１のとき　a3は3で割ったときの余りが2となる　を説明します

ーーーーー説明始めーーーーー

αを3で割った余りが1のとき
　-4αは余り2、α^2+3は余り1なので　a3の余りは2　条件に合わない

α＝3k+1 とおけて
　-4α=-4*(3k+1)=-12k-4=-12k-6+2=3(-4k-2)+2 ：-4αは3で割ったときの余りが2
　α^2+3=(3k+1)^2+3=9k^2+6k+1+3=3(3k^2+2k+1)+1：α^2+3は3で割ったときの余りが1
-4αは3で割ったとき余りが2なので、-4α=3m+2とおける
同様に　α^2+3=3n+1 とおける

a3=-4α(α^2+3)=(3m+2)(3n+1)=3(3mn+m+2n)+2
a3は3で割ったときの余りが2

ーーーーーー説明終わりーーーー

同様にして
αを3で割った余りが2のとき　a3は3で割ったときの余りが1となる
も説明できるので、自分で確認してください

(1)はOKでしょうか、駄目なら駄目な部分をご教示下さい

OKならば
(2)a1=-2のとき，a(n+2),a(n+1),anの満たす関係式の導出を説明したいと思いますので

説明の方針を前回質問に対する回答のNo,1とNo.2のどちらにするかのご希望と
(1)の検討過程でa(n)について明らかになったことの整理を書いて下さい

整理
a(n)=x^n+y^n　で定義され、a1、a2、a3が整数でa2=-4であれば
x=α+iβ とすると
y=
a1=
a2=(αとβの式)=-4

No.5 回答者： 20170130 回答日時： 2018/08/24 17:28

a3=2α^3+6α*(iβ)^2 :もう一歩踏み込む

=2α^3-6α*β^2　：α^2-β^2=-2　だから β^2=2+α^2
=2α^3-6α*(2+α^2)
=-4α^3-12α

a1=2α が整数なので、α=n/2　:nは整数
a3が整数なので、4α^3=n^3/2 も整数なのでnは偶数、つまりαは整数

a3=-4α(α^2+3) これが3で割ると1余る数になるか

3で割った場合の余りの検討なのでαを3で割った場合の余りで分類して考える
αを3で割った余りが０のとき　a3は3で割り切れる　条件に合わない
αを3で割った余りが1のとき
　-4αは余り2、α^2+3は余り1なので　a3の余りは2　条件に合わない
αを3で割った余りが2のとき
　-4αは余り1、α^2+3は余り1なので　a3の余りは1　条件に合う

a3が3で割ると1余る数のとき
αは3で割ると2余る数
a1=2αは6で割ると4余る数

後半少し省略しましたが、これでOKでしょうか

OKなら(2)に進みます、駄目なら駄目な部分を説明します

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/08/24 12:48

実際のところ, この問題では x や y が複素数であると見抜かなくてもいいんだけどね.

a_1 = x+y が整数で a_2 = x^2+y^2 = -4 であることから
・x+y が偶数かつ xy が整数
・x+y が奇数かつ xy が半整数
のどちらか. ただしさらに a_3 = x^3+y^3 も整数なので後者は不適. これで a_3 が3 で割ると 1 余るという条件から x+y = a_1 を 6 で割ると 4 余ることがわかる.

No.3 回答者： 20170130 回答日時： 2018/08/24 11:03

a2<0よりx,yは複素数であるから、：x,yが実数ならa2>0となるので、x,yは複素数で考える

x1,x2,y1,y2を実数として
x=x1+ix2
y=y1+iy2
とおくことができる。：この時点ではx1,x2,y1,y2に意味はなく単なる記号、別の記号にしても良い、以下の論述で一貫していれば、x=x2+ix1とおいてももちろん良い

a1= x1+y1+i(x2+y2)=実数より、：問題文では整数となっているがもちろん整数は実数に含まれる
x2+y2=0　：実数なので虚数部が0になることから、特に意味のない文字記号に関係性がでてきた
x2=β(>0)
y2=-β
とおく。：関係性が出てきたのでそれを表現、別の文字記号を使った

a2=(x1+iβ)^2+(y1-iβ)^2
=x1^2+y1^2-2β^2+i(x1-y1)β=-4
より、
x1=y1=α　：4なので虚数部は０、文字記号に関係性がでてきた、別の文字記号にした
a2=α^2-β^2=-2
a1=2α

ここまでを整理すると、
x,yは複素数で
x=α+iβ と書けば、y=α-iβ と書けて
a1=2α
a2=2(α^2-β^2)=-4
α^2-β^2=-2
となっている

続けてa3=x^3 + y^3 が整数であり、3で割ると1余るという条件の検討に入りますが
ここまではOKでしょうか

できればご自分でa3を計算してみて下さい

ここまでOKであること及びa3の自分なりの計算結果をお礼欄か補足欄で示していただければ次の部分を説明します

駄目ならどこが駄目なのかお知らせ下さい