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lim[x→∞] (2^n+3^n)/(4^n+5^n)

lim[x→∞] x/(e^x-1)

∫[0 1] dx/√(1-x^2)

上記3つの計算をお願いします。2つ目から苦戦しています。使用する公式などありましたら、付記くださるとありがたいです。

質問者からの補足コメント

  • 大変申し訳ありません、2つ目が間違いでした。∞でなく、0の間違いです。

    ◯ lim[x→0] x/(e^x-1)

    × lim[x→∞] x/(e^x-1)

      補足日時:2018/08/26 15:02
  • 1つめは4箇所を5^nで割ればOK、2つめはf(x)=e^xと置いて微分の定義の式の逆数と考えれば良いと理解出来ました。3つ目、 ∫[0 1] dx/√(1-x^2) を考え中です。

      補足日時:2018/08/26 17:54
  • 3番目の問題は、こちらが参考になりそうですね。
    http://examist.jp/mathematics/math-3/integration …

      補足日時:2018/08/26 20:06
gooドクター

A 回答 (8件)

lim[x→0] x/(e^x-1) のなかの


x/(e^x-1)は1/{(e^x-1)/x}と変形できますね。
そして
1/{(e^x-1)/x}の分母(e^x-1)/xはさらに(e^x-e^0)/xと変形できて
x→0のとき(e^x-1)/x=(e^x-e^0)/xの極限値はx=0におけるe^xの
微分係数の定義式になっているのです。
x=0におけるe^xの微分係数は1だから
x→0のとき
x/(e^x-1)=1/{(e^x-1)/x}→1/1=1 となります。
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3、∫[0 1] dx/√(1-x^2)を求めよ。


x=sinθと置く。置換積分を行うとdx=cosθdθ。積分範囲はθ=0~π/2となる。よって
∫[0 1] dx/√(1-x^2)= ∫[0~π/2] cosθdθ/√(1- sin^2θ)
= ∫[0~π/2] cosθdθ/ cosθ=∫[0~π/2] dθ=[θ] [0~π/2]=π/2-0=π/2
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3つ目はx=sinθ(0≦x≦π/2)と置きかえて積分すれば


結果ははπ/2になります。
その参考サイトの通りです。
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lim[x→0] x/(e^x-1)



x/(e^x-1)=1/{(e^x-1)/x} と変形して、1=e^0に注意すれば
この右辺の分母はx→0のときe^xのx=0における微分係数1に収束、
したがって
lim[x→0] x/(e^x-1)=1/ lim[x→0]{(e^x-1)/x}=1 です。
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この回答へのお礼

途中、分母が0の不定形が出てきますが問題ないのでしょうか?

お礼日時:2018/08/26 17:04

lim[x→0] x/(e^x-1)



f(x)=e^xとすると微分の定義よりこの式は
1/f'(0)
なので答えは1
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この回答へのお礼

よく理解できました!わかりやすい説明ありがとうございます

お礼日時:2018/08/26 17:50

2番目は不等式


1+x/2<e^(x/2)x>0 を使ってもよい。
2乗して
1+x+x²/4<e^x x>0 なので
x/(e^x-1)<1/(1+x/4)→0(x→∞)
∴求める極限値=0 です。
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この回答へのお礼

問題の記載違いに付きあわせてしまいました。申し訳ないです。

お礼日時:2018/08/26 17:51

2つ目はむずかしいですね。


不等式 
1+x+x²/2≦e^x x≧0 から、
x>0のとき、0≦x/(e^x-1)≦1/(1+x/2)→0(x→∞)だから
求める極限値は0です。
3つ目はx=sinθ(0≦x≦π/2)と置いて変数変換すれば
積分はπ/2になります。
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この回答へのお礼

問題の記載間違いに突き合わせてしまいました。申し訳ないです。

お礼日時:2018/08/26 17:51

式を書き間違えてはいないでしょうか?


今一度ご確認ください。

三番目の式はx=cosθと置けば多分うまくいくと思いますので試してみてください。
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この回答へのお礼

おっしゃるとおり、式の書き間違いでした。2番目は理解できたのでこれから3番目にうつります。

お礼日時:2018/08/26 17:51

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