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実数x,yはx^2+y^2=4を満たすとき2x+yの最大値と最小値を求めよ。という問題がわかりません。解説を見て、
2x+y=kとおくとx^2+y^2=x^2+(k-2x)^2
=4となるので
変形して5x^2-4x+(k^2ー4)=0
というところまでは分かったのですが、
この式の判別式が0になる時に2x+y=kと
x^2+y^2=4が接すると書いてあり、これがどうしてなのか分かりません。
解説お願いします。

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A 回答 (7件)

例によってラグランジュで解くと



h(x,y, u)=2x+y+u(x^2+y^2-4)
∂h/∂x=2+2ux=0
∂h/∂y=1+2uy=0
→x=1/u, y=1/(2u)→x^2+y^2=(5/4)(1/u^2)=4→u=±√(5)/4
x=±4/√(5)、y=±2/√(5) (複合同順)が停留点
2×+yが大きい方が最大値、小さい方が最小値です。従って
Max=2√5、Min=-2√5
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実数x,yはx^2+y^2=4を満たすとき2x+yの最大値と最小値を求めよ。



x^2+y^2=4は原点を中心とする半径2の円を表す。
2x+y=kはy=-2x+kで勾配が-2の直線を表す。図を参照して下さい。
kを-6から+6まで動かすと、図に示すように、勾配は一定で、下の方から上の方に動く。k=-6では円と直線は交点がないが、k=-4.5の付近で直線は円に接触し、k=-2,0,2では、直線と円は2点で交わる。k=+4.5の付近で直線は再び円に接触し、その先は交点はなくなる。接触するときは、2つの交点が近づいて、ついに一つになる所が接点となる。グラフは式が成立する所をグラフに表すものだから円と直線の交点は、両方の式が成立するところである。すなわち二つの式の連立方程式をみたす。交点がない所では、根は虚数である。2つの交点がある所は、実数根である。その中間で、根が一つの所は、二つの交点が一つになって二重根になる所で、接点である。
連立方程式からyを消去すると5x^2-4kx+(k^2-4)=0となる。あなたの質問文に書いた式はkが一つ抜けて間違っている。この2次方程式の判別式を作って、二重根となる所を求めると
D/4=(2k)^2-5(k^2ー4)=0,k^2=20,k=±√20
k=√20のときx=4/√5、y=2/√5
k=-√20のときx=-4/√5、y=-2/√5
「実数x,yはx^2+y^2=4を満たすと」の回答画像6
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まず、x-y平面は実数をとっているので虚数解が出てきてしまうと平面上に表せないので、実数解のときのみを考えます。

そして、ここでの解は円と直線の方程式を連立したもの、つまり、円と直線の交点のx座標となります。したがって実数解の個数はx座標の個数、x座標に伴ってy座標も出てくるので実数解の個数は交点の数です。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2018/08/30 10:35

図は描いたの?これが第一歩だよ。


最悪の場合、作図をきちんとやれば、「図より、最小値は、最大値は、」なんてできなくも無いと思いますが。
判別式の所を理解しなければならないのはそうですが、もしも、本番で、判別式の使い方が判らなくなったら、こうやって図から求めることもできるはずです。

また、どうしてそうなるかはそれはそれ。実際にそうなっているのか、図で確認しましたか?
納得することもまた大事。
何だか訳の分からないまま数式のいじり方を覚えれば良いわけでは無い、それだと力がつきにくい。特に、なんでだ、なんでだ、と言う人は。
確かにそうなっているが、なんでだ、から考えないと。

判別式の使い方が判らないのなら、じゃぁその二次方程式を解いてください。
解の公式がありますよね。
解はどうなりますか?
このとき、「なんだかkを含んだ訳の分からない式」ではなく、図から、大凡のkの値域は判るはずですから、適当にいくつかkに代入してみるというのも良いでしょうね。
何だか判らない物を、自分で一つずつ判るようにしていく。

原点中心の半径2の円と、傾きが-2の直線が二点で交わったり接したり接しなかったりするわけです。
図は描いて貰うとして、私は頭の中で考えますが、
kがもの凄く大きいと、直線は全然接しませんよね。
そこからkを小さくしていくと、まず直線が円に接します。
もう少し小さくしていくと、直線が円と二点で交わる。
更に小さくすると、直線が円と二点で交わりつつ原点を通る。
更に小さくすると、直線が円と二点で交わる。
更に小さくすると、直線が円に接する。
更に小さくすると、直線は円から離れる。
直線を鉛筆か何かで代用して、上下に動かしてみてください。

上記で、最初に直線が円と接したときの図を描いて下さい。
円の中心=原点と、接点を直線で結びます。
この直線は、2x+y=kと接点で直交します。
従って、この直線の傾きは、1/2です。xが2のときyが1。この点をPとしてプロットして下さい。
原点と、(2,0)とPとで作られる三角形と、原点と接点と接点からx軸に降ろした垂線で作られる三角形を書き込んで下さい。
この二つの三角形は相似形です。(原点付近の角が共通の直角三角形だから)
OPの長さは、三平方の定理から√(2²+1²)=√5
底辺:斜辺=2:√5
一方、Oと接点との距離は、接点が円上だから2。
∴底辺:斜辺=2:√5=q:2
q=4/√5
接点のx座標は4/√5。
OPの傾きが1/2なので、直線OPの方程式はy=(1/2)xなので、y座標は、
2/√5
k=2×(4/√5)+2/√5
=10/√5
とまぁ出るんですが。

例えば直線は、(2,0)を通ってもいいわけです。
このときのkは暗算で4。
接しているときは、kはもうちょい大きいな、と。
じゃぁk=4を二次方程式の解にぶち込むと、どうなるでしょう。
円、直線、解のxの値(の大凡)、を図に描き込んで下さい。図は描き直した方が良いです。何枚も図を描く。スラスラ描く。
二次方程式の解は、~~±√~~みたいな形になることですよね。
円と直線が接するときのxの値は、その図のような位置で、~~±√~~と、「二つの解の平均値から±√~~ずれたところに二つ存在する」わけです。
二つ存在する以上、接してはいませんよね。
接するというのは、解が一つしかないケースのことです。
二次方程式の解の公式で、解が一つしかない、重解する、というのは、

平方根の中身が丁度0になるとき

なのです。
平方根の中身が0でない正になるときは、解が二つ現れ、平方根の中身が0になるときは、重解し、解が一つしか現れない。
交わるか、接するか、とはこういうことなのです。

今度は、平方根の中身が負の場合。
実数解を持ちません。実数解無し。
これが円と直線が接しない、(直接的には、現れた二次方程式とx軸とが接しない場合)、なのです。
10/2>10/√5≒10/2.236...>10/2.5=4
kが4のケースはもう描きましたので、今度はk=5の時の図を描き加えてみて下さい。
また、二次方程式の解の公式にぶち込んでみて下さい。
平方根の中身はどうなりますか。

と、このように、二次方程式の解の公式の、平方根の中身が、正か、0か、負か、で、
実数解を二つ持つ、重解して実数解が一つ、実数解無しで虚数解になる、
二点で交わる、接する、接しない、
と特徴的なことが起きるのです。
それで、この二次方程式の解の公式の、平方根の中身だけ取り出して、

判別式

と呼んで、これが正か0負か、を見るのです。
しっかり理解して、使いこなせるようにして下さい。
一発で丸暗記することは無理かもしれませんので、何度も失敗して、失敗を繰り返しながら再度理解し直して身につけて下さい。
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判別式によって実数解の個数つまり、直線と円の交点の数がわかります。

それが1つになるときが接するときなので判別式は0になるときです。
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この回答へのお礼

どうして実数解の個数が交点の数だと言えるんですか?

お礼日時:2018/08/29 23:22

追伸



何かおかしいと思ったら、変形後の式でxの係数がおかしいです
5x^2-4kx+(k^2-4)=0
になると思います
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元の円の式を変形すると、


y=±√(4-x^2)…①
です
y=2x+k=√(4-x^2)
これが、重解を持つとき、①と直線は接します
両辺を二乗して整理すると、
5x^2〜となるので、最終的に単に円の式に直線の式を代入して、出て来た式が重解を持つ、つまり判別式=0の時接する事になります
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時:2018/08/29 23:20

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