数2 余剰の定理 写真の問題の29で、☆がついてるところがわかりません。 f(x)をx-1で割った余

数2 余剰の定理
写真の問題の29で、☆がついてるところがわかりません。
f(x)をx-1で割った余りの-3 と x^3-1で割った余りのx^3-2ax+a^3 が等しいって決まってる事何ですか？
余りが必ず等しいとは限らないのではないかな〜と疑問の思いました。
解説お願いします（＾Ｏ＾）

No.2 回答者： mabuterol 回答日時： 2018/09/01 18:43

f(x) を x^3 -1 で割った余りが x^2 - 2ax + a^3 であるから、

f(x) = A (x^3 - 1) + x^2 - 2ax + a^3 と置く事ができる。

f(x) を x - 1 で割った余りの条件について
f(x) = B(x - 1) - 3 と置く事ができる。

この 2 つの式に x = 1 を代入すると
A × 0 + x^2 - 2ax + a^3 = B × 0 - 3

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/09/01 18:37

仮にf(x)をx-1で割った商をg1(x)、x^3 - 1割った商をg2(x)とすると

f(x)=(x-1)g1(x)-3=(x^3 - 1)g2(x)+(x^2 - 2ax + a^3)

となります。

ここでx=1を代入すると
f(1)=(1-1)g1(1)-3=(1^3 - 1)g2(1)+(1^2 - 2a*1 + a^3)
となります。

(1-1)=(1^3 - 1)=0になるため、商をg1(1)、g2(1)がどんな値であれ以下が成立するのです。

f(1)=-3=(1 - 2a +a^3)

あとは、赤字で解説している通りです。