『密度がρ(r)=(ρo)exp(-ar)で与えられる時、フーリエ変換を行い、
 形状因子F(q)=∫ρ(r) exp(iq・r)drを求めよ。』
この問題解ける人詳しく教えて下さい。 m(_ _)m
お願いします。
(ρo):ローゼロ、expの括弧内(q・r):ベクトルの内積
他の文字はスカラー量

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A 回答 (1件)

とりあえずできる範囲で計算をおこなってみました(ご参考までに)。


式の物理的な意味、具体的な利用方法等の説明は他の方の回答を参考に
してください。
一部使用する記号を変えさせていただきます。
i→j
q→k
dr→dx*dy*dz
q・r→<q,r>:3次元空間での内積

以下に計算手順を示します。
F(k)/ρo=∫ρ(r)/ρo exp(j<k,r>)dxdydz

=∫exp(-a*r)*exp(j<k,r>)dxdydz      (1)

この積分を行うために、球面座標を用います(図で記述するとわかりやすいのですが、式の説明でゴメンナサイ)。
球面座標(r,θ,φ)は
x=r*sin(θ)*cos(φ)               (2)
y=r*sin(θ)*sin(φ)
z=r*cos(θ)
波数ベクトルkとz軸となす角度をθとします。
体積素片dxdydzは球面座標では、
dxdydz=r*r*sin(θ)*dr*dθ*dφ           (3)

蛇足説明:(ここの説明は読み捨ててください)
(3)式の導出ですが、もし、多変数積分での変数変換の方法をご存じでしたら、
(2)の定義からヤコビアンを計算していただき、(3)式の導出の確認をしてい
ただければ幸いです。
ぶつりやさんの直感的な説明では、確か、
体積素片dxdydzは、
dr、r*sin(θ)*dφ、r*dθ
の三辺からなる長方体(?)で表現できるから、(3)になるというような説明だったような……)

=∫exp(-a*r)*exp(j*k*r*cos(θ)) r*r*sin(θ)*dr*dθ*dφ  (4)

上記の積分は、
r=-∽~∽
θ=0~π
φ=0~2*π
で行います。初めにφについて積分を行うと

=2*π*∫exp(-a*r)*exp(j*k*r*cos(θ)) r*r*sin(θ)*dr*dθ  (5)

(5)式でθについて積分を行うのに(6)式を用います。

(d/dθ)exp(j*k*r*cos(θ))=-j*k*r*sin(θ)*exp(j*k*r*cos(θ))  (6)

(6)式を利用するため、(5)式を以下のように変形します。
=2*π*∫exp(-a*r)*{-j*k*r*sin(θ)*exp(j*k*r*cos(θ))}r*dr*dθ/(-j*k)

=2*π*∫exp(-a*r)*{exp(-j*k*r)-exp(j*k*r)}r*dr/(-j*k)

=(2*π/(-j*k))*∫exp(-a*r)*{exp(-j*k*r)-exp(j*k*r)}r*dr

=(2*π/(-j*k))*∫r*exp((-a-j*k)*r)-r*exp((-a+j*k)*r) dr (7)

(7)の積分を行う前に次の積分を計算しておく。
α>0
∫r*exp(-α*r)dr=r*exp(-α*r)/(-α)-exp(-α*r)/(α*α) (8)

(8)式の0~∽での定積分は、
-/(α*α)                           (9)

(9)式の結果を用いて(7)式の計算を行うと、                     

=(2*π/(-j*k))*{-1/[(-a-j*k)*(-a-j*k)]

+1/[(-a+j*k)*(-a+j*k)]}

=(2*π/(-j*k))*2*j*Im(1/[(-a+j*k)*(-a+j*k)])

注:Imは、複素数の虚部をとるという意味。

=4*π/(-k)*(-2*k*a)/[(a*a+k*k)*(a*a+k*k)]

=8*a*π/[(a*a+k*k)*(a*a+k*k)]

よって

F(k)=ρo*8*a*π/[(a*a+k*k)*(a*a+k*k)]

となりました。
誤記、誤計算がありましたらゴメンナサイ。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

とてもわかりやすい説明ありがとうございます。
本当に助かりました。   m(_ _)m

お礼日時:2001/07/21 18:15

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http://www.tsunami.civil.tohoku.ac.jp/hokusai2/class/spec/07auto.pdf
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思います。

また、自己相関係数というのは常に1で考える意味がないと思います。

http://www.tsunami.civil.tohoku.ac.jp/hokusai2/class/spec/07auto.pdf
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パワースペクトルを求めるのに自己相関関数を使うのは
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Q熱気球でρ=(T./T)ρ.の求め方について

気球の下の部分には穴があって、気球内の空気圧は常に外気と等しい圧力に保つようになっている
気球の内部にはヒーターがあり、気球内の温度を調節することができる
今地表での外気の温度をT.、圧力をP.、そのときの空気の密度をρ.とする。気球の球体部分の容積は常にVとなる、また空気は理想気体とする。

いま、気球を地面に止めておいて、気球内の空気の温度をT.からTに上昇させる。この時の密度ρをもとめよ

解答は
一般に質量m、体積Vの空気の密度ρはρ=m/VとなるのでV=m/ρと表される
質量mの気体についてのボイルシャルルの法則P.V./T.=PV/Tに
V.=m/ρ.、V=m/ρを代入すると

P./ρ.T.=P/ρTとなる
空気の温度を変化させても、気球内の圧力はP.のままなので
P./ρ.T.=P./ρTより
ρ=(T./T)ρ.

となると在るのですがV.=m/ρ.、V=m/ρとして解いておりますが
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V.=m/ρ.、V=m/ρとして解いてよい理由を教えてください、できれば詳しくおねがいします

気球の下の部分には穴があって、気球内の空気圧は常に外気と等しい圧力に保つようになっている
気球の内部にはヒーターがあり、気球内の温度を調節することができる
今地表での外気の温度をT.、圧力をP.、そのときの空気の密度をρ.とする。気球の球体部分の容積は常にVとなる、また空気は理想気体とする。

いま、気球を地面に止めておいて、気球内の空気の温度をT.からTに上昇させる。この時の密度ρをもとめよ

解答は
一般に質量m、体積Vの空気の密度ρはρ=m/VとなるのでV=m/ρと表される
質量mの...続きを読む

Aベストアンサー

V - V. の部分は,気球からはみだして外に出ていくと考えるわけです。
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Qfortranでフーリエ変換→パワースペクトル算出

プログラミング全くの初心者です

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(横軸時間、縦軸大きさのデータです)

フーリエ変換の理論上の原理、およびパワースペクトル(=虚部の二乗+実部の二乗)
という定義は、教科書から理解できたのですが、
実際に任意のデータに対してフーリエ変換を施す、となると、一体全体何からはじめていいかわからないのです。


そもそもフーリエ変換をしてデータを補間し、100個をさらに分割して増やさなければならないと思うのですが、(違うかもしれませんが)
何をしたらいいのかわからず途方にくれています。

フーリエ係数を求めるのに積分が出てきますが、これもプログラムでどう表現していいのかわかりません

無教養で申し訳ありません。
どうにもこうにも調べ方がわかりませんでしたので質問させていただきます
どなたかヒントをお願いします・・・・・

Aベストアンサー

京大数理研の大浦拓哉先生という方がフーリエ変換の解説とプログラムを書いておられるようです。

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/fftman/index.html
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/fft-j.html
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/index-j.html
(上記リンク先が文字化けするようならエンコーディングをEUCにしてみてください)

参考URL:http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/index-j.html

Q周期ポテンシャルのフーリエ展開はなぜ、V(r)=Σ_{G} V(G)exp(iG.r)とあらわされるのですか。

固体物理の教科書で逆格子ベクトルのところを読んでいると、逆格子ベクトルをGとして、「周期ポテンシャルのフーリエ展開がV(r)=Σ_{G} V(G)exp(iG・r)となる」と書かれていました。なぜ、このように書けるのかが導出できません。
exp(iG・r)=cos(G・r)+isin(G・r)として、Gはゼロから無限大までそれぞれ代入したものを足し合わせると言う考え方でいいでしょうか。

Aベストアンサー

こんばんは。
まず一変数の場合のフーリエ級数は大丈夫ですか。
(指数関数表示のままの方が便利です)
たとえば周期Lの関数のフーリエ級数展開です。
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(y、zを定数とおもってxの関数として級数展開、
つぎはzを定数とおもってyの関数を級数展開、最後zの
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そして格子に対して逆格子の定義が分れば指数関数の
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どなたか教えていただけませんか?
よろしくおねがいします.

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取り込み時間が長くなると、周波数分解能があがります。
取り込み時間の逆数と周波数分解能は比例関係にあるからです。

正弦波などでなければ、周波数分解能があがると、振幅は低下する傾向にあります。

実際の振動周波数は分解能と完全には一致しませんので、その前後の周波数を全て1つのものとして表現します。
分解能2で解析した場合おおざっぱにわかりやすくいうと、
周波数は2,4,6....という風に表示されます。
分解能がよくなり例えば時間長さを倍にすると、分解能は1になり、周波数は、1、2,3,4,5,6,...となります。

一番下から考えると、正確ではありませんが(あくまでわかりやすく説明するための方便です)、分解能2の時は、0~3が2に、3~5が4として表示されると考えると、
分解能が1になると、1.5~2.5が2になり2.5~3.5が3、3.5~4.5が4と表示されることになります。

分解能2で解析した場合、4に含まれる振動成分のうち、3~3.5と4.5~4の成分が、分解能1で解析した場合、他の周波数に振り分けられてしまうことになります。

そのため、振幅が低下します。

取り込み時間が長くなると、周波数分解能があがります。
取り込み時間の逆数と周波数分解能は比例関係にあるからです。

正弦波などでなければ、周波数分解能があがると、振幅は低下する傾向にあります。

実際の振動周波数は分解能と完全には一致しませんので、その前後の周波数を全て1つのものとして表現します。
分解能2で解析した場合おおざっぱにわかりやすくいうと、
周波数は2,4,6....という風に表示されます。
分解能がよくなり例えば時間長さを倍にすると、分解能は1になり、周波数...続きを読む

Q∫√((a-y)/(y-c_2 ))dy=∫dx

∫√((a-y)/(y-c_2 ))dy=∫dx

この計算の仕方を教えて下さい。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

√(a-y)(y-c_2)dy=√{-ac_2-y^2+(a+c_2)y}dy
=√{(a-c_2)^2/4-(y-(a+c_2)/2)^2}dy, A=(a-c_2)/2, B=(a+c_2)/2
=√{A^2-(y-B)^2}dy, y-B=z
=√{A^2-z^2}dz, z=Au, (-1≦u≦1)
=A|A|√(1-u^2)}du, u=sin(t),(-π/2≦t≦π/2)
=A|A|cos^2(t)dt
=(A|A|/2){1+cos(2t)}dt

といった変形と置換を使って積分すれば

A|A|{t+sin(2t)/2}=x+C

置換前の元の変数、定数に戻せばいいですね。

A|A|{arcsin(u)+u√(1-u^2)}=x+C
A|A|{arcsin(z/A)+(z/A)√(1-(z/A)^2)}=x+C
A|A|{arcsin((y-B)/A)+((y-B)/A)√(1-((y-B)/A)^2)}=x+C

後は, A=(a-c_2)/2, B=(a+c_2)/2を代入して整理するだけなので
ご自分でできますね。


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