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lim[n→∞] {(4^n)-1}/{(2^(n+1))+3}

∫{dx/√(1-(x^2))}

∫[0 1]x/{(x^2)+2} dx

上記の3つの計算です。
どうぞよろしくお願いします。
解説や使う公式などももしあれば助かります。

A 回答 (2件)

lim[n→∞] {(4^n)-1}/{(2^(n+1))+3}__①


∫{dx/√(1-(x^2))} __②
∫[0 1]x/{(x^2)+2} dx__③ を求める。

(1)式①の分子と分母を2^n割る。
4^n÷2^n=2^nおよび2^(n+1)÷2^n=2を使うと
lim[n→∞] {(4^n)-1}/{(2^(n+1))+3}_①
= lim[n→∞] {2^n-1/2^n}/{2+3/2^n}
= lim[n→∞] {2^n}/{2}=∞/2=∞
(2)x=sinθの置換積分を行う。
∫{dx/√(1-(x^2))} __②
0≦x<1のときx=sinθ_④とすると、0<θ<π/2。
④をθで微分するとdx/dθ=cosθ_⑤ dx= cosθdθ_⑥
④⑥を②に入れると
∫{dx/√(1-(x^2))}_②
=∫{ cosθdθ/√(1-(sinθ)^2)}=∫{ cosθdθ/cosθ}=∫dθ=θ+C=Arcsin x+C__⑦
(3) y=x^2__⑧による置換積分を行う。
⑧を微分するとdy/dx=2xとなるからdy=2xdx dx=dy/(2x)__⑨。
積分範囲はy=0~1となる。③に⑧⑨を入れると
∫[0 1]x/{(x^2)+2} dx__③
=∫[0 1]x/{(y)+2} dy/(2x)
=∫[0 1]dy/{y+2}dy/2
=(1/2)[log(y+2)] [0 1] =(1/2)[log(3)-log(2)]=(1/2)log(3/2) またはloge√1.5
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よって x∊A or x∊E …③
ゆえに x∊A∪E が成り立つ ■qed

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証明■
∀x∊Eをとる。
このとき、x∊A or x∊E
ゆえに x∊A∪E が成り立つ ■qed

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>>証明■
>>∀x∊Eをとる。
>>このとき、x∊A or x∊E
>>ゆえに x∊A∪E が成り立つ ■qed

難しく考えないで下さい。
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x∊A or x∉A …①
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(1)
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--------------------------------
①-②=(2/3)・S_n=1                -(1/3)^n

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(2)
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(B) 広義積分 ∫[0 ∞] (x^2)*e^(-x^3) dx の値を求めよ

上記2つの問題になります。解説をつけてくださるとありがたいです。

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(A) 関数 f(x)=e^x. g(x)=-x^3 に対して.導関数 {f(g(x))}' を計算せよ.
(B) 広義積分 ∫[0 ∞] (x^2)*e^(-x^3) dx の値を求めよ

(A)
(1){f(g(x))}'は合成関数の微分問題だから、合成関数の微分の公式を使います。
z=f(y)=e^y_①,とy=g(x)=-x^3_②,という二つの関数があった時、式②のyを式①に代入するとできるz=f(g(x))=e^(-x^3)_③,という関数を①と②の合成関数といいます。
(2) zをyで微分したものをdz/dyと書きます。yをxで微分したものをdz/dxと書きます。
式①②を微分すると、それぞれ、式④⑤になる。正確な式の表示は図を見て下さい。
dz/dy =f '(y)=e^y_④
dy/dx= g '(x) =-3x^2_⑤
①と②の合成関数の微分は③の微分であり、⑥と書く。
dz/dx= {f(g(x))}'_⑥
合成関数の微分の公式は⑦である。
dz/dx=dz/dy・dy/dx_⑦
⑦に④⑤⑥を入れると⑧になる。合成関数の微分は⑤と⑥を掛ければ得られる。
dz/dx= {f(g(x))}'= f '(y)・g '(x) = e^y・(-3x^2)= {e^(-x^3)}・(-3x^2)_⑧
(3) 合成関数z=f(g(x))は、独立変数x(xはどんな数でもよい)をy=g(x)=-x^3により変換し、
さらに、そのyをz=f(y)=e^yによりzに変換する関数である。
任意の数xをx→y→zと変換する時の、y→zに使う式がz=g(y)=e^y_①であるから
gは任意の数yをe^yに変換する関数で、この式①をy=g(x)=e^xと書いても、同じ関数gと考えて、③はf(x)=e^xとg(x)=-x^3の合成関数ともいう。
(4)公式をどうして証明するかは、教科書を見て下さい。簡単に書くと
任意の数xをx→y→zと変換する時、ある数x1はx1→y1→z1と変換され、x1に微小な数Δxをたした数x2=x1+Δxはx2→y2→z2と変換されるとする。この時、次式が成り立つ。
(z2-z1)/(x2-x1)¬=(z2-z1)/(y2-y1)¬・(y2-y1)/(x2-x1)¬_⑨
Δx→0の極限をとったとき、x2-x1→dx,y2-y1→dy,z2-z1→dzとなり、
dx, dy, dzをx, y, zの微分という。微分法の定義により⑩⑪⑫が成り立つ。
lim[Δx→0] (z2-z1)/(x2-x1)¬=dz/dx_⑩
lim[Δx→0] (z2-z1)/(y2-y1)¬=dz/dy_⑪
lim[Δx→0] (y2-y1)/(x2-x1)¬=dy/dx_⑫
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(B) I=∫[0 ∞] (x^2)*e^(-x^3) dx__⑭は置換積分により計算する。置換積分は、合成関数の微分の公式を積分に応用するものです。
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dx =dy/ g '(x) = dy/(-3x^2 )_⑮
式⑭に⑮を入れると
I=∫[0 ∞] (x^2)*e^(-x^3) dx__⑭
=∫[0 ∞] (x^2)*e^(y) dy/(-3x^2 )
=∫[0 -∞] e^(y) dy/(-3) __⑮
x→y= g(x)=-x^3の変換をすると、x=0~∞の積分範囲はy=0~-∞に変換される。
⑮の積分範囲の下限と上限を入れ替えると、符号(-)が付いて式⑮は⑯になる。
I=-∫[-∞ 0] (e^y) dy/(-3)
=-∫[-∞ 0] (e^y) dy/(-3)__⑯
=∫[-∞ 0] (e^y) dy/3
=(1/3) [e^y] [-∞ 0]=(1/3)[e^0-e^(-∞)]=(1/3)[1-0]
=1/3__⑰
答え I=∫[0 ∞] (x^2)*e^(-x^3)dx=1/3

(A) 関数 f(x)=e^x. g(x)=-x^3 に対して.導関数 {f(g(x))}' を計算せよ.
(B) 広義積分 ∫[0 ∞] (x^2)*e^(-x^3) dx の値を求めよ

(A)
(1){f(g(x))}'は合成関数の微分問題だから、合成関数の微分の公式を使います。
z=f(y)=e^y_①,とy=g(x)=-x^3_②,という二つの関数があった時、式②のyを式①に代入するとできるz=f(g(x))=e^(-x^3)_③,という関数を①と②の合成関数といいます。
(2) zをyで微分したものをdz/dyと書きます。yをxで微分したものをdz/dxと書きます。
式①②を微分すると、それぞれ、式④⑤になる。正確...続きを読む

Qsinα+ cosβ=1/2、 cosα+ sinβ=1/5のとき、 sin(α+β)、 cos(α

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