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No.1
- 回答日時:
要するに,
条件 max(i, j) = k のもとで i^2 + j^2 が
・最も小さくなる場合
・最も大きくなる場合
はどのような場合か,
を考えればよいのです.
(あらわには書かれていませんが,実数 p は非負であると仮定されているようです.)
まず,最も小さくなるのは,
(i, j) = (k, 1) or (1, k)
の場合ですね.
この場合,
i^2 + j^2 ≧ k^2 + 1^2 > k^2
というように評価することができ,
したがって,実数 p が非負であれば
1 / (i^2 + j^2)^p ≦ 1 / k^(2 p)
(等号成立は p = 0 のとき)
という評価が得られます.
一方,最も大きくなるのは,
(i, j) = (k, k)
の場合ですね.
この場合,
i^2 + j^2 ≦ k^2 + k^2 = 2 k^2
というように評価することができ,
したがって,実数 p が非負であれば
1 / (i^2 + j^2)^p ≧ 1 / (2 k^2)^p
(等号成立は i = j = k のとき,または p = 0 のとき)
という評価が得られます.
あとは,こうして得られた不等式
1 / (2 k^2)^p ≦ 1 / (i^2 + j^2)^p ≦ 1 / k^(2 p)
を和の評価に用いるだけです.
条件 max(i, j) = k を満たす (i, j) は 2 k - 1 個存在するので,
条件 max(i, j) = k のもとでの和は
(2 k - 1) / (2 k^2)^p
≦ ∑_{max(i, j) = k} 1 / (i^2 + j^2)^p
≦ (2 k - 1) / k^(2 p)
と評価できますね.
これが写真の一つ目の不等式です.
そして,ここで,
∑_{K_n} 1 / (i^2 + j^2)^p
= ∑_{k = 1}^{n} (∑_{max(i, j) = k} 1 / (i^2 + j^2)^p)
であることに注意すれば,写真の二つ目の不等式が導かれます.
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