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添付画像の(例2)について、
どちらかがちょうどkで他方がk以下であるようなものの個数は2k-1個であるから、
と書かれた次の式及び、したがってと書かれた次の式について、

どのような評価をしているのかがピンときません。
教えてほしいです

「2重級数」の質問画像

A 回答 (1件)

要するに,


 条件 max(i, j) = k のもとで i^2 + j^2 が
 ・最も小さくなる場合
 ・最も大きくなる場合
 はどのような場合か,
を考えればよいのです.
(あらわには書かれていませんが,実数 p は非負であると仮定されているようです.)

まず,最も小さくなるのは,
 (i, j) = (k, 1) or (1, k)
の場合ですね.
この場合,
 i^2 + j^2 ≧ k^2 + 1^2 > k^2
というように評価することができ,
したがって,実数 p が非負であれば
 1 / (i^2 + j^2)^p ≦ 1 / k^(2 p)
  (等号成立は p = 0 のとき)
という評価が得られます.

一方,最も大きくなるのは,
 (i, j) = (k, k)
の場合ですね.
この場合,
 i^2 + j^2 ≦ k^2 + k^2 = 2 k^2
というように評価することができ,
したがって,実数 p が非負であれば
 1 / (i^2 + j^2)^p ≧ 1 / (2 k^2)^p
  (等号成立は i = j = k のとき,または p = 0 のとき)
という評価が得られます.

あとは,こうして得られた不等式
 1 / (2 k^2)^p ≦ 1 / (i^2 + j^2)^p ≦ 1 / k^(2 p)
を和の評価に用いるだけです.
条件 max(i, j) = k を満たす (i, j) は 2 k - 1 個存在するので,
条件 max(i, j) = k のもとでの和は
 (2 k - 1) / (2 k^2)^p
 ≦ ∑_{max(i, j) = k} 1 / (i^2 + j^2)^p
 ≦ (2 k - 1) / k^(2 p)
と評価できますね.
これが写真の一つ目の不等式です.
そして,ここで,
 ∑_{K_n} 1 / (i^2 + j^2)^p
 = ∑_{k = 1}^{n} (∑_{max(i, j) = k} 1 / (i^2 + j^2)^p)
であることに注意すれば,写真の二つ目の不等式が導かれます.
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