マーベル映画シリーズの伝説の始まり『アイアンマン』を紐解く! >>

Eを全体集合,Aをその部分集合とするとき『A∪E=E』
が成り立つことの証明について考えています。
(参考書にある証明をたどっています。)

A∪E ⊂ E であることの証明は得られましたが、反対の包含関係
E ⊂ A∪E の証明が苦手です。参考書では

証明■
∀x∊Eをとる。このとき、
x∊A or x∉A …①
ゆえに (x∊A and x∊E)or(x∉A and x∊E) …②
よって x∊A or x∊E …③
ゆえに x∊A∪E が成り立つ ■qed

と証明されています。
もちろん納得ないきますが、単純に

証明■
∀x∊Eをとる。
このとき、x∊A or x∊E
ゆえに x∊A∪E が成り立つ ■qed

ではだめでしょうか。
論理の考え方について助言をいただければと思います。

質問者からの補足コメント

  • どう思う?

    当方なりに色々と考えを進展させています。認識が容易になるように(見やすいように)
    「かつ」を∧、「または」を∨、「ならば」を→ で表すことにします。

    高校や大学で扱われる数学のうち初等的なものは「かつ」や「または」「ならば」を利用して証明が行われますが、それらは(暗黙の内に)ラッセル=ヒルベルトの公理系を前提にしていると解釈してよいでしょうか。

    ラッセル=ヒルベルトの公理系
    A、B、Cを命題として
    ①A∨A→A
    ②A→A∨B
    ③A∨B→B∨A
    ④A∨B→(C∨A→C∨B)

    そうであれば、「E⊂A∪E」は公理の②から証明できます。証明というより公理から従うという感じです。「自明なことを証明する」ことと「公理から得られる」ことでは大きな違いがあるなぁというのが率直な気持ちです。

      補足日時:2018/09/09 06:55
  • うれしい

    何度か回答者のみなさんの回答を読み返しています。
    No4(t_fumiaki)について次第に理解ができるようになりました。 

    > x∉A or x∊Eから機械的にx∊A∪Eは導けないでしょう?

    『x∊Eが真という命題と論理の公理から命題x∊A∪Eが成り立つ』(個人的には、証明としてOKなのではないかと考えている)という論法については、その良し悪しをより詳しく知りたいことは、まだ課題として残っています。

    しかし、「x∉A or x∊Eから機械的にx∊A∪Eは導けない」ことの意味はわかりました。この意味が理解できると、参考書にある証明の流れが自然に思え、より証明が理解しやすいと感じてきました。t_fumiakiさん、ありがとうございました。

      補足日時:2018/09/12 23:53

A 回答 (7件)

>>証明■


>>∀x∊Eをとる。
>>このとき、x∊A or x∊E
>>ゆえに x∊A∪E が成り立つ ■qed

難しく考えないで下さい。
「あなたが主張する上の>>が成立しませんよ」と言ってるだけです。
x∉A or x∊Eの場合が抜けてます、という事です。

こうだからこうなる、では無くて
x∉A or x∊Eから機械的にx∊A∪Eは導けないでしょう?

質問にある上側の証明が必要という事です
x∊A or x∉A …①
ここから機械的な演算によってx∊A∪Eまで導いている。
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この回答へのお礼

お付き合い頂いてありがとうございます。
冷静に考えたいと思っているため、
教えていただければ嬉しいです。

>難しく考えないで下さい。
>「あなたが主張する上の>>が成立しませんよ」と言ってるだけです。★
> x∉A or x∊Eの場合が抜けてます、という事です。
①>>証明■
②>>∀x∊Eをとる。
③>>このとき、x∊A or x∊E
④>>ゆえに x∊A∪E が成り立つ ■qed
★で成立しないというところは、①~③のどの過程でしょうか。

>x∉A or x∊Eから機械的にx∊A∪Eは導けないでしょう?
「機械的に導く」の意味するところを少し詳しく教えて欲しいです。
論理的には、x∊E からは、
※x∊A か x∉A に依存なく
※意味があるかないかは別にして

x∊A∪E でも x∊B∪E でも x∊∅∪E

いずれも成り立ちます。
しかし「機械的に」導けるのか、というところが理解できていません。

また、論理の公理「A→A∨B」を認めるのであっても、
やはり、x∊A と x∉A の議論は必要でしょうか。

お礼日時:2018/09/11 22:25

「合併の定義による証明」を具体的に教えていただけると


具体的に理解が深まります。>

A∪B:={x|x∈A or x∈B }
として定義される集合を、集合 A, B の和集合と呼ぶ。
この定義のBの所にEを入れると
A∪E:={x|x∈A or x∈E }
として定義される。

A∪E⊃E_(3)
(3)の証明
E:={x|x∈E }は 
A∪E:={x|x∈A or x∈E }
として定義される集合に含まれる。
これで証明になっていますかしら。
「公理というのは、信じるものではなくて、公理系に矛盾が無ければ、数学者ごとに違ってもよい」という現代数学の構造主義から言えば、公理は信じないので、定義による証明が必要になる。
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この回答へのお礼

お付き合いいただいて、また証明を提示して頂いて本当にありがとうございます。

L1> A∪E⊃E_(3)
L2> (3)の証明
L3> E:={x|x∈E }は 
L4> A∪E:={x|x∈A or x∈E }
L5> として定義される集合に含まれる。
L6> これで証明になっていますかしら。

どうでしょうか。私には『L3~L5はL1の数式を言い換えただけ』としか解釈することができず、証明とは受け入れられません。なぜなら『L5>として定義される集合に含まれる』ことを証明したいのに、その『含まれる』ということが一切説明されていないためです。※教えていただいた証明を否定したい気持ちはなく、純粋に私はそう考えるため、議論を重ねたいという思いでおります。

また、さらにより本質的な問い(下記の①②)が自分の中に芽生えています。

>「公理というのは、信じるものではなくて、公理系に矛盾が無ければ、数学者ごとに違ってもよい」という現代数学の構造主義から言えば、公理は信じないので、定義による証明が必要になる。

公理は違ってもよい、ということは賛同いたします。
「定義による証明が必要になる。」について、
①定義による証明とは何だろうか
※わかりやすい具体例があったら提示してほしい
②論理の公理を用いない証明は存在するのかどうか

このことについても、知りたいと思いました。

私は、数学の専門家ではないので、ひょっとすると、気が付かないうちにその”構造主義”とやらのせいで盲目的になっているのかもしれません。主義にとらわれずに①②について理解を深めたい。

お礼日時:2018/09/13 22:23

どの推論規則を使ったのかを書いてください

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この回答へのお礼

ありがとうございます。

「推論規則」について調べると、とても難しい話しになるのですね。

どの推論規則を用いたか、に答えることは難しいのですが、
単純に

証明■
x∊E①をとる。
このとき、x∊A② or x∊E①
ゆえに x∊A∪E が成り立つ ■qed

において、①が真 → ②∨①が真 は、
論理の公理 A→A∨B、A∨B→B∨A から導かれる
という論法は、厳密な証明になっていないでしょうか。
特に x∊A② や x∉A③ の記述は証明に必要でしょうか。

お礼日時:2018/09/11 22:50

あなたの考えは正しいと思います。


EとAを合併すれば、もしA⊂Eでなかったら
普通はE⊂A∪Eとなります。AとEを合併すれば、
合併した方が大きくなることはほとんど自明です。
不等式で書けばE≦E+A (E≧0,A≧0)に例えることが出来ます。
A⊂Eという前提があれば、E にAを付け加えて合併しても、Eに新たに付け加える要素がないので、不等式で書けばE=E+Aに例えることが出来ます。これを包含関係で書けば
A∪E=E_(1)
となり、これを証明するには、A∪E⊂E_(2)とA∪E⊃E_(3)の二つの式の証明が必要です。これを不等式で例えるとA+E≦E_(2')とA+E≧E_(3')の二つの式を証明することによりA+E=E_(1')が証明できます。
このとき、(2')はA⊂Eという前提がなければ、成り立たないが、(3')はほとんど自明で、
A⊂Eという前提がなくても成立します。
あなたの考え方は、この自明なことを公理により証明しようというものだと受け取ることができます。
しかし、この証明は公理に基づくのではなく、合併の定義によって証明されるようにも考えられます。。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

>あなたの考え方は、この自明なことを公理により証明しようというものだと受け取ることができます。
はい。「自明なこと」が基本的であればあるほど、数学では危うく、安易に自明という言葉に頼ってはいけないと考えます。(危うい、と書きましたが、今回の『A∪E=E』に疑いを持っているわけではありません。『A∪E=E』は真です。)関心は、『A∪E=E』を厳密に証明することにあります。

>しかし、この証明は公理に基づくのではなく、合併の定義によって証明されるようにも考えられます。
「合併の定義によって証明される」という部分について、定義の中に
”または”という論理構造が入っていることが気になるところです。
丁寧に説明いただいたように、”集合として大きくなる”ということは感覚としては明らかですが、そのような感覚に依らずに厳密に証明をする、というところが、初学者には難しいところです。

私自身も証明に詳しくないので、色々書きましたが、
「合併の定義による証明」を具体的に教えていただけると
具体的に理解が深まります。

お礼日時:2018/09/11 22:39

>>「or x∊E」が伴うことで、


>>x∊Aの真偽にかかわらず主張することができる、
>>と考えます。

そこじゃ無くて、その下
ゆえに x∊A∪E が成り立つ ■qed が問題だという事。

x∉A or x∊E だって成り立つんだから
そこからx∊A∪Eは出て来ない。

形式体系だから、機械的記号演算で出て来ないといけないでしょう?
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この回答へのお礼

> x∉A or x∊E だって成り立つんだから
> そこからx∊A∪Eは出て来ない。

①x∊E のみから x∊A∪E はもちろん成り立ちますが、
 x∊Aも証明の過程に記述すること(登場すること)が必要ということでしょうか。
> 形式体系だから、機械的記号演算で出て来ないといけないでしょう?
 について少し教えていただければと思います。

お礼日時:2018/09/09 19:32

それでもいいけど, できれば


∀x∊Eをとる。
このとき、「x ∈ E なので」x∊A or x∊E
と強調しておいた方が安全かな. あと「or」と文字で書くよりも論理演算の記号を使った方がよいでしょう.

x が A の要素かどうかに関係なく x ∈ E だから「x∊A or x∊E」ではあります.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

>このとき、「x ∈ E なので」x∊A or x∊E
>と強調しておいた方が安全かな.
それであれば、よりわかりやすいですね。参考になります。

>あと「or」と文字で書くよりも論理演算の記号を使った方がよいでしょう.
論理記号「∨」でよいでしょうか?
質問でorを用いてしまったので、
現状、このQAでは or や and を使用したいと思います。
(が、∧や∨の方が良いですね。質問の際に深く考えていませんでした。)

お礼日時:2018/09/09 06:26

>>∀x∊Eをとる。


>>このとき、x∊A or x∊E

「この時」以降の結論が飛躍しすぎ。
x∊Aなんて事はいえない。x∉Aつまり、Xは集合Aの外側かも知れない。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

>x∊Aなんて事はいえない。x∉Aつまり、Xは集合Aの外側かも知れない。
もちろんそうですが、「or x∊E」が伴うことで、
x∊Aの真偽にかかわらず主張することができる、
と考えます。

がこれも飛躍でしょうか?
「当たり前」のことを証明することは難しいですね。

お礼日時:2018/09/09 06:22

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すでにNo.6投稿の式②から⑤⑥⑦で説明したが、あまり理解されないようだから、実際に行う計算を示す。
(1−1/10⁷)^10⁷=a^10⁷≒1/e__① の計算を行う。
a=0.9999999__② を出発する。両辺を二乗すると、③となる。小数第7位以下は四捨五入する。
a²=0.99999980000001≒0.9999998__③両辺を二乗すると、④となる。 
a⁴=0.9999996_④二乗すると、指数の4は、倍々と増えて
a⁸=0.9999992_⑤二乗をあと4回繰返すと、128乗になる。途中を省略して、
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a¹⁰²⁴= 0.9998976_⑧二乗をあと2回繰返すと、4096乗になる。途中を省略して、
a⁴⁰⁹⁶= 0.9995905_⑨二乗をあと3回繰返すと、32768乗になる。途中を省略して、
a³²⁷⁶⁸=0.9999872_⑩二乗をあと4回繰返すと、524288乗になる。途中を省略して、
a⁵²⁴²⁸⁸=0.9489219_⑪もう1度、二乗すると、1048576乗になる。
a¹⁰⁴⁸⁵⁷⁶=0.9004527_⑫二乗をあと4回繰返すと8388608乗になる。途中を省略して、
a⁸³⁸⁸⁶⁰⁸=0.4322026_⑬
⑥から⑬までの式を、左辺は左辺同士、右辺は右辺同士、みな掛ける。
左辺の指数をみな加えると
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逆数をとると1/0.367879=2.718282≒eである。
式⑭は式①の(1−1/10⁷)^10⁷_⑮を忠実に計算したものである。
式⑮は10⁷=nと書けば
(1−1/n)^n__⑯である。
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lim[n→∞](1-1/n)^n=e^(-1)=1/e__⑱
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ちなみに、どこから1/eは出てきたのでしょうか?また、なぜネイピア数に近づけるられるように作れたのでしょうか?>

すでにNo.6投稿の式②から⑤⑥⑦で説明したが、あまり理解されないようだから、実際に行う計算を示す。
(1−1/10⁷)^10⁷=a^10⁷≒1/e__① の計算を行う。
a=0.9999999__② を出発する。両辺を二乗すると、③となる。小数第7位以下は四捨五入する。
a²=0.99999980000001≒0.9999998__③両辺を二乗すると、④となる。 
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∫{dx/√(1-(x^2))} __②
∫[0 1]x/{(x^2)+2} dx__③ を求める。

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∫{dx/√(1-(x^2))} __②
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④をθで微分するとdx/dθ=cosθ_⑤ dx= cosθdθ_⑥
④⑥を②に入れると
∫{dx/√(1-(x^2))}_②
=∫{ cosθdθ/√(1-(sinθ)^2)}=∫{ cosθdθ/cosθ}=∫dθ=θ+C=Arcsin x+C__⑦
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⑧を微分するとdy/dx=2xとなるからdy=2xdx dx=dy/(2x)__⑨。
積分範囲はy=0~1となる。③に⑧⑨を入れると
∫[0 1]x/{(x^2)+2} dx__③
=∫[0 1]x/{(y)+2} dy/(2x)
=∫[0 1]dy/{y+2}dy/2
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∫{dx/√(1-(x^2))} __②
∫[0 1]x/{(x^2)+2} dx__③ を求める。

(1)式①の分子と分母を2^n割る。
4^n÷2^n=2^nおよび2^(n+1)÷2^n=2を使うと
lim[n→∞] {(4^n)-1}/{(2^(n+1))+3}_①
= lim[n→∞] {2^n-1/2^n}/{2+3/2^n}
= lim[n→∞] {2^n}/{2}=∞/2=∞
(2)x=sinθの置換積分を行う。
∫{dx/√(1-(x^2))} __②
0≦x<1のときx=sinθ_④とすると、0<θ<π/2。
④をθで微分するとdx/dθ=cosθ_⑤ dx= cosθdθ_⑥
④⑥を②に入れると
∫{dx/√(1-(x^2))}_②
=∫{ cosθdθ/√(1-(sinθ)^2)}=∫{ cosθdθ/c...続きを読む

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逆山形になるので最小値があると思うのですが、

y=12x²-144x+324
などのように複雑になってくると代入するのも大変で何か別途、山形か
逆山形かを判別できないのでしょうか?

y=12x²-144x+324
は3次関数の導関数として導かれました。
なにとぞ宜しくお願いします。

Aベストアンサー

二次関数がスラスラできないうちに三次関数に手を出してもほぼ何も身に付かないでしょう。混乱するだけだし、やたらと時間がかかるはずです。
二次関数をしっかりやり直すことをお勧めします。

y=12x²-144x+324
=12(x²-12x+27)
=12{x²-12x+(36-36)+27}
=12{(x²-12x+36)+27-36}
=12{(x-6)²+27-36}
=12{(x-6)²-9}
=12(x-6)²-108
これは、y=12x²を、x方向に6、y方向に108、平行移動しただけの物です。
まずはこの「平方完成」がちゃんと身に付いているのか、次に、「平行移動」の仕方も身に付いているのか。
更には、y=12x²と言われて、上に凸か下に凸かが判るのか。
プロットするのであれば、y=x²と比べてみると良いのですが。

y=ax²+bx+c
=a{x²+(b/a)x}+c
=a{x²+2(b/2a)x+(b/2a)²-(b/2a)²}+c
=a{(x+b/2a)²-(b/2a)²}+c
=a(x+b/2a)²-(b²/4a)+c
=a(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a
と一般的に平行完成できてしまうので、y=ax²+bx+cは、y=ax²を、x方向に-b/2a、y方向に-(b²-4ac)/4a平行移動した物、ということになり、
従って、上に凸か下に凸かはaの正負を見れば一発で判ることになります。

b²-4ac。どこかで見たことは?
判別式、というのがこれですし、二次方程式の解の公式にも現れるはずです。
y=ax²+bx+c
=a(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a
y=0のとき、つまりax²+bx+c=0のとき、
a(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a=0
(b²-4ac)/4a=a(x+b/2a)²
(b²-4ac)/4a²=(x+b/2a)²
√{(b²-4ac)/4a²}=±(x+b/2a)
{√(b²-4ac)}/2a=±(x+b/2a)
±{√(b²-4ac)}/2a=(x+b/2a)
x={-b±√(b²-4ac)}/2a
というのが二次方程式の解の公式。
このうち平方根の中身、b²-4acが正か0か負か、が判別式。
平方根の中身が正であれば、二次方程式の解が、s±√tとなり、y=0のとき、つまりx軸と、グラフが2点で交わることになる。
平方根の中身が0であれば、s±√0=sとなり、x軸とグラフは、一点で接することを意味する。
平方根の中身が負であれば、y=0のときに実数解は無く、グラフとx軸とは、二点で交わることも、一点で接することも無く、接しない、ということを意味します。

それと、
11²=121
12²=144
17×3=51
この辺りは暗記しておいた方が良いかもしれません。
この問題だと、a=12、b=144で、12で括ればもう少し馴染みのある小さな数字にできそうだ、と見えてきます。

二次関数がスラスラできないうちに三次関数に手を出してもほぼ何も身に付かないでしょう。混乱するだけだし、やたらと時間がかかるはずです。
二次関数をしっかりやり直すことをお勧めします。

y=12x²-144x+324
=12(x²-12x+27)
=12{x²-12x+(36-36)+27}
=12{(x²-12x+36)+27-36}
=12{(x-6)²+27-36}
=12{(x-6)²-9}
=12(x-6)²-108
これは、y=12x²を、x方向に6、y方向に108、平行移動しただけの物です。
まずは...続きを読む


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