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次の級数を、" 第n項までの部分和S_nを求めた上で " 、 " S_nを用いて " 級数の和を求めよ。
ただし、級数が発散する場合はそのように書け。
(1) Σ[n=1 ∞] (1/3)^(n-1)
(2) Σ[n=1 ∞] (5/4)^(n-1)

" " で強調した箇所は重要なようです。
詳細に解説をつけてくださると助かります。

質問者からの補足コメント

  • 正直、前回はちゃんと答える気ないなら解答欄を使わないでほしかったです・・・。
    あなたの書き込みは、教えて!gooの趣旨にあっているとはいえません。
    自分で考えた上で他の答案や考え方・抜けが無いかを確認したい場合だってあるじゃないですか。

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2018/09/09 09:44
  • https://mathtrain.jp/sumtouhi
    こちらにある証明がキーになりそうですね。
    もう少し調べてみます

      補足日時:2018/09/09 17:46
  • だいぶ理解できてきました。Dr-Fieldさんの式が出題者の意図に近い気もしますが、
    少し定義が曖昧でピンぼけした問題ですね。

      補足日時:2018/09/09 18:27

A 回答 (6件)

(1)


部分和 S_n =1+(1/3)+(1/3)^2+・・・+(1/3)^(n-1)        ・・・①
(1/3)・S_n =  (1/3)+(1/3)^2+・・・+(1/3)^(n-1) +(1/3)^n  ・・・②
--------------------------------
①-②=(2/3)・S_n=1                -(1/3)^n

だから、S_n=(3/2){1-(1/3)^n}
ここで n→∞ とすれば、(1/3)^n=0なので、lim (n→∞) S_n=3/2

(2)
計算方法の考え方は同様。答えは無限大に発散するはず。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。なぜ、部分和から、部分和に1/3を掛けたものをひくのでしょうか。
定義に関係があるのかな。証明あたりの解説サイトを探してきます。

お礼日時:2018/09/09 17:36

" 第n項までの部分和S_nを求めた上で " 、 " S_nを用いて " 級数の和を求める


という視点ではどうなるでしょうか?

>それがまさに、「lim[n→∞]sn」です。
snを求めるという事は数列{(1/3)^(n-1)}が有限でどこまでも続くことは無いとしてその和を第n項まで求めるという事です。(質問者さんの挙げたリンク先にあるとおり)
それを求めたうえで、n→∞とすると、第n項は無限に遠くなるので、無限に遠い第n項までの和を「lim[n→∞]sn」と表すことができるわけです。無限に遠い第n項までの和とは、Σ[n=1 ∞] (1/3)^(n-1) の事ですからlim[n→∞]snが求めるべき和という事になるのです。

ちなみに
(1)(2)共に「無限等比級数(無限に続く等比数列の項を+記号で結んだもの)」ですから、定理によりsnを求めずに答えを出すこともできます。その解法は次の通り
無限等比級数の定理
①収束条件:|r|<1
②和:a1/(1-r)
これに基づくと
(1) r=1/3で①を満たしているので
②により 求めるべき和は=1/(1-1/3)=3/2
(2) R=5/4で①を満たしていないので、与えられた級数は発散する
と簡単にわかってしまいます。
本問は、定理は使わずにlim[n→∞]snから答えを求めよと言うのが趣旨です。
だから、#5のように求めたわけですよ!^^

(予備知識:級数とは数列a1 a2 a3・・・の各項を+記号で結んだもの 。つまりa1+a2+a3+・・・を言い表します。)
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この回答へのお礼

ありがとうございます。完全に説明いただいたことを理解できたわけではないのですが、それだと、#1のDr-Fieldの解答だと、答案としては足りないことになるでしょうか。
また、その場合はどのあたりが足りないでしょうか。

お礼日時:2018/09/11 21:27

予備知識


無限に続く数列{an}が与えられた時
a1+a2+・・・+an+・・・を級数(無限級数)といい、anを第n項(一般項)という。
a1+a2+・・・+an+・・・=Σ[n=1 ∞] an、と書き換えることもできる。

1 、1/3、 (1/3)²・・・のように、1/3倍になって続く数列を等比数列といい
この場合、1を初項、倍率1/3を公比と言う
初項a1 公比rの等比数列ならば、初項から第n項までの和sは
s=a1(1-r^n)/(1-r)・・・公式
(この導出法は、数列に関する本などで確認しておくのが良いです:今回は省略)

予備知識をふまえると
1)この級数はΣ[n=1 ∞] (1/3)^(n-1)=1+1/3+(1/3)²+・・・+(1/3)^(n-1)+・・・ で
一般項はan=(1/3)^(n-1)
部分和はsn=1x(1-1/3^n)/(1-1/3)=(1-1/3^n)/(2/3)=(3/2)x(1-1/3^n)
lim[n→∞]sn=lim[n→∞](3/2)x(1-1/3^n)=3/2 
(∵lim[n→∞]1/3^n=0だからn→∞のとき、(3/2)x(1-1/3^n)→(3/2)x(1-0)=3/2)
よって与えられた級数は収束し、その和は3/2

(少し解説
部分和:sn=1x(1-1/3^n)/(1-1/3)=(3/2)x(1-1/3^n)というのは、与えられた無限級数を途中で区切ったもので数式で表すと
sn=1+1/3+(1/3)²+・・・+(1/3)^(n-1)
この式のnを無限に大きくしていくと、右辺はこの等比数列を無限にどこまでも+記号で結んでいく(数列を足していく)ことになり
lim[n→∞]sn=1+1/3+(1/3)²+・・・・・・
という事になります。
すなわち、これ(lim[n→∞]sn)が示すものこそ、求めるべき無限級数の和です。ただし、lim[n→∞]snが収束しない時は「和はもたない」、または「発散する」といいます)

2)
一般項はan=(5/4)^(n-1) ・・・これも等比数列 a1=1 r=5/4
部分和はsn=1x{1-(5/4)^n}/(1-5/4)={1-(5/4)^n}/(-1/4)=-4{1-(5/4)^n}
lim[n→∞]sn=lim[n→∞]-4{1-(5/4)^n}=∞
(∵nが大きくなればなるほど5/4^nは大きくなり、n→∞なら5/4^n→∞)
従って与えられた級数は発散する
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この回答へのお礼

詳細な解説をありがとうございます。
" 第n項までの部分和S_nを求めた上で " 、 " S_nを用いて " 級数の和を求める
という視点ではどうなるでしょうか?

お礼日時:2018/09/09 17:33

>>正直、前回はちゃんと答える気ないなら解答欄を使わないでほしかったです・・・。


ちゃんと答える気があったから、教科書に書いてある公式を使うだけという趣旨を書いた。

>>あなたの書き込みは、教えて!gooの趣旨にあっているとはいえません。
趣旨に合っているか否かの判断は、運営者が行うことであって、あなたにその判断権限はない。

>>自分で考えた上で他の答案や考え方・抜けが無いかを確認したい場合だってあるじゃないですか。
では、あなたの考えを明記すべき。


繰り返して書くが、教科書に書いてあること(等比数列の和の公式)を、全く頭を使わずにただ当てはめるだけの問題なので、そうすればいい。
教科書の公式を当てはめるだけだから他の答案や考え方はあり得ないし、抜けが発生することもあり得ない。
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前と同じことを聞いてるね。



教科書に公式が書いてある。
この回答への補足あり
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