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y=x²だと
xに-1,-2,-3,1,2,3など入力し
逆山形になるので最小値があると思うのですが、

y=12x²-144x+324
などのように複雑になってくると代入するのも大変で何か別途、山形か
逆山形かを判別できないのでしょうか?

y=12x²-144x+324
は3次関数の導関数として導かれました。
なにとぞ宜しくお願いします。

A 回答 (4件)

二次関数がスラスラできないうちに三次関数に手を出してもほぼ何も身に付かないでしょう。

混乱するだけだし、やたらと時間がかかるはずです。
二次関数をしっかりやり直すことをお勧めします。

y=12x²-144x+324
=12(x²-12x+27)
=12{x²-12x+(36-36)+27}
=12{(x²-12x+36)+27-36}
=12{(x-6)²+27-36}
=12{(x-6)²-9}
=12(x-6)²-108
これは、y=12x²を、x方向に6、y方向に108、平行移動しただけの物です。
まずはこの「平方完成」がちゃんと身に付いているのか、次に、「平行移動」の仕方も身に付いているのか。
更には、y=12x²と言われて、上に凸か下に凸かが判るのか。
プロットするのであれば、y=x²と比べてみると良いのですが。

y=ax²+bx+c
=a{x²+(b/a)x}+c
=a{x²+2(b/2a)x+(b/2a)²-(b/2a)²}+c
=a{(x+b/2a)²-(b/2a)²}+c
=a(x+b/2a)²-(b²/4a)+c
=a(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a
と一般的に平行完成できてしまうので、y=ax²+bx+cは、y=ax²を、x方向に-b/2a、y方向に-(b²-4ac)/4a平行移動した物、ということになり、
従って、上に凸か下に凸かはaの正負を見れば一発で判ることになります。

b²-4ac。どこかで見たことは?
判別式、というのがこれですし、二次方程式の解の公式にも現れるはずです。
y=ax²+bx+c
=a(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a
y=0のとき、つまりax²+bx+c=0のとき、
a(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a=0
(b²-4ac)/4a=a(x+b/2a)²
(b²-4ac)/4a²=(x+b/2a)²
√{(b²-4ac)/4a²}=±(x+b/2a)
{√(b²-4ac)}/2a=±(x+b/2a)
±{√(b²-4ac)}/2a=(x+b/2a)
x={-b±√(b²-4ac)}/2a
というのが二次方程式の解の公式。
このうち平方根の中身、b²-4acが正か0か負か、が判別式。
平方根の中身が正であれば、二次方程式の解が、s±√tとなり、y=0のとき、つまりx軸と、グラフが2点で交わることになる。
平方根の中身が0であれば、s±√0=sとなり、x軸とグラフは、一点で接することを意味する。
平方根の中身が負であれば、y=0のときに実数解は無く、グラフとx軸とは、二点で交わることも、一点で接することも無く、接しない、ということを意味します。

それと、
11²=121
12²=144
17×3=51
この辺りは暗記しておいた方が良いかもしれません。
この問題だと、a=12、b=144で、12で括ればもう少し馴染みのある小さな数字にできそうだ、と見えてきます。
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この回答へのお礼

非常に詳しく回答して頂きまして誠にありがとうございました。
その他の回答者の方もありがとうございました。

お礼日時:2018/09/30 14:23

2乗というのは同じ数同士をかけるということ、同じ数ならば同じ符号なので2乗したものは絶対に正になります。

つまり、2次の項のみで考えるとx軸より上のみとなり、どこまでも下にいく山形にはならない、つまり、山形、-x^2ではその逆が、ここから2次の項の符号が正になら逆山、負なら山形になるということがわかります。
今回の場合、導関数として出てきたのでx軸との交点のx座標が3次関数の極地のx座標です。
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2次の係数が正なら下に凸、負なら上に凸。

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微積分の前に2次関数の頂点を求め方を復習すること。


y=12x^2-144x+324
=12(x^2-12x+27) ← ()の中を一般系から基本形(平方完成)に直す
=12((x^2-12x+36)+27-36)
=12((x-6)^2-9) ← 放物線が下に凸で頂点が(6,-9)にあることが判る

一般に放物線の式は
y=ax^2+bx+c の形で表される 一般形 と
y=a(x-p)^2+q の形で表される 基本形(平方完成) の二つがあり、この基本形では、頂点の座標が(p,q)となります。
また放物線が上に凸か、下に凸かは、aの値が、正の場合→下に凸、負の場合→上に凸 が基本中の基本です。

これは高校数学では基礎的な部分になるので、教科書を勉強し直さないと先に進めません。
三角関数や指数対数関数や微積分でも応用する問題が出ます。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2018/09/30 14:23

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つまり①と②③に分けて考えているという事です。
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