【問】
A(1)=1,A(n+1)=2A(n)+n+1 (n≧1)
で定まる数列{A(n)}の一般項を求めよ。
このパターンの問題の解き方を塾で習いました。
A(n+2)の式を作ってA(n+1)の式を引くというやり方なのですが、自分でやってみたところうまくいかないので、間違っている点を指摘してください。
A(n+2)=2A(n+1)+n+2 から
A(n+1)=2A(n)+n+1 を引くと
A(n+2)-A(n+1)=2{A(n+1)-A(n)}+1 となり、
ここで、A(n+1)-A(n)=B(n) とおくと、上の式は、
B(n+1)=2B(n)+1 と表せる。
B(1)=2+1+1-1=3 なので、
B(n)=3・2^(n-1)-1 となる。よって、
A(n+1)-A(n)=3・2^(n-1)-1 である。
A(n+1)-A(n)=3・2^(n-1)-1 から
A(n+1)-2A(n)=n+1 をひくと、
A(n)=3・2^(n-1)-n-2 となる。
と解いてみたのですが、正解は、
A(n)=2^(n+1)-n-2 なのです。
どこが間違っているのでしょうか??
なんかB(n)の漸化式を解くところから違ってきてる気はするのですが。
よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
> B(n+1)=2B(n)+1 と表せる。
> B(1)=2+1+1-1=3 なので、
> B(n)=3・2^(n-1)-1 となる。
この最後の部分ですね。
(というか、n=1を代入したらもうアウトです)
このレベルの問題を解こうとしているのなら、B(n)の出し方はわかると思いますので、考え直してみてください。
No.2
- 回答日時:
>A(n+2)=2A(n+1)+n+2 から
>A(n+1)=2A(n)+n+1 を引くと
>A(n+2)-A(n+1)=2{A(n+1)-A(n)}+1 となり、
>ここで、A(n+1)-A(n)=B(n) とおくと、上の式は、
>B(n+1)=2B(n)+1 と表せる。
>B(1)=2+1+1-1=3
とここまではあっているのですが、その次のところですね。
B(n+1)=2B(n)+1をα=2α+1の解α=-1をもちいて
B(n+1)+1=2{B(n)+1}と変形できるので、
C(n)=B(n)+1とすると、C(n+1)=2C(n)と表せます。
C(1)=B(1)+1=3+1=4だから、C(n)=4×2^(n-1)
C(n)=B(n)+1から、B(n)=4×2^(n-1)-1=2^(n+1)-1
数列B(n)は数列A(n)の階差数列だから、
後は階差数列の公式に入れてください。
そうすると答えが出ました。
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