痔になりやすい生活習慣とは?

関数f(x)=1/(1-x)に対してマクローリンの定理を適用し、
f(x)=Σ[k=0 n-1]a_k*(x^k)+R_n(x) と表した時の a_k , R_n(x) を求めよ.

a_kは1になりそうですが、剰余項が謎です。
そうなる理由や解説もあるとありがたいです。

A 回答 (2件)

ここではf(x)の第n次導関数をfn(x)と表示します。



あなたの見ているテキストか受講している講義では、剰余項の式はR_n(x)={fn(θx)/n!}x^n(0<θ<1)ですよね?

f(x)=1/(1-x)なのですから、fn(x)=n!/(1-x)^(n+1)となることは大丈夫ですか?第n次導関数を求めるのはa_kが出せているので大丈夫だとは思いますが。

なので、fn(θx)=n!/(1-θx)^(n+1)となるので、これをR_n(x)の式に代入すれば良いのです。すると、{1/(1-θx)^(n+1)}x^nとなるはずです。
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「謎」とはどういうことでしょうか? 素直にマクローリンの定理を適用したらどうなりますか?

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この回答へのお礼

剰余項は、素直にいれると
{1/(1-θx)^(n+1)}x^nになりました。

お礼日時:2018/09/14 19:57

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Q第n項までの部分和S_nを求めた上で、S_nを用いて級数の和を求める問題

次の級数を、" 第n項までの部分和S_nを求めた上で " 、 " S_nを用いて " 級数の和を求めよ。
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(2) Σ[n=1 ∞] (5/4)^(n-1)

" " で強調した箇所は重要なようです。
詳細に解説をつけてくださると助かります。

Aベストアンサー

(1)
部分和 S_n =1+(1/3)+(1/3)^2+・・・+(1/3)^(n-1)        ・・・①
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--------------------------------
①-②=(2/3)・S_n=1                -(1/3)^n

だから、S_n=(3/2){1-(1/3)^n}
ここで n→∞ とすれば、(1/3)^n=0なので、lim (n→∞) S_n=3/2

(2)
計算方法の考え方は同様。答えは無限大に発散するはず。

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題意より (xーα)(x-β)(x-γ)=x³-2x²+x-1・・・①
①にx=1を代入
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①にx=-1を代入
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x=0代入
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②+③より
2(-α-β-γ)-2αβγ=-6・・・⑤
⑤に4を代入
2(-α-β-γ)ー2=-6
∴α+β+γ=2…⑥
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②-3より
2+2αβ+2αγ+2βγ=4
⇔2αβ+2αγ+2βγ=2…⑧
⑧を7に代入
α²+β²+γ²+2=4
⇔α²+β²+γ²=2…⑨
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厳密にいうと線分AB に対して「三角形ABC が正三角形になる」ような C は 2個あるので, 単純に
三角形 ABC' が正三角形になる
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とはいえ #1 のように
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sinα+ cosβ=1/2、 cosα+ sinβ=1/5のとき、
sin(α+β)、 cos(α+β)、tan(α+β)の値を求めよ。
解説よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(sinα+ cosβ)^2 = (1/2)^2
(sinα)^2 + 2sinαcosβ + (cosβ)^2 = 1/4 …(a)

(cosα+ sinβ)^2=(1/5)^2
(cosα)^2 + 2cosαsinβ + (sinβ)^2 = 1/25 …(b)

三角関数の基本公式と加法定理を知っていれば、(a)と(b)からsin(α+β)、 cos(α+β)、tan(α+β)の値を求めることができます。

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x^n+y^n+z^n−nxyzがx+y+zで割り切れるような正の整数nを求めよ。

解答の
「右辺はx,yの3次式だから、n=3」という部分おかしくありませんか?
2次式のように思えるんですが…

以下私の回答(上の1行を書き換えた部分だけ)

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n=2 となるが このとき等号は成立しない

nが奇数のとき 左辺はn−1次式となるから
n=3とすると
x^3+y^3+z^3−3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2−xy−yz−zx)
となり、x+y+zで割り切れる。

いいですかね

Aベストアンサー

x²yもxy²も、x,yの3次式ですよ。xyなら2次式。

Qlim[n→∞] {(4^n)-1}/{(2^(n+1))+3} ∫{dx/√(1-(x^2))}

lim[n→∞] {(4^n)-1}/{(2^(n+1))+3}

∫{dx/√(1-(x^2))}

∫[0 1]x/{(x^2)+2} dx

上記の3つの計算です。
どうぞよろしくお願いします。
解説や使う公式などももしあれば助かります。

Aベストアンサー

lim[n→∞] {(4^n)-1}/{(2^(n+1))+3}__①
∫{dx/√(1-(x^2))} __②
∫[0 1]x/{(x^2)+2} dx__③ を求める。

(1)式①の分子と分母を2^n割る。
4^n÷2^n=2^nおよび2^(n+1)÷2^n=2を使うと
lim[n→∞] {(4^n)-1}/{(2^(n+1))+3}_①
= lim[n→∞] {2^n-1/2^n}/{2+3/2^n}
= lim[n→∞] {2^n}/{2}=∞/2=∞
(2)x=sinθの置換積分を行う。
∫{dx/√(1-(x^2))} __②
0≦x<1のときx=sinθ_④とすると、0<θ<π/2。
④をθで微分するとdx/dθ=cosθ_⑤ dx= cosθdθ_⑥
④⑥を②に入れると
∫{dx/√(1-(x^2))}_②
=∫{ cosθdθ/√(1-(sinθ)^2)}=∫{ cosθdθ/cosθ}=∫dθ=θ+C=Arcsin x+C__⑦
(3) y=x^2__⑧による置換積分を行う。
⑧を微分するとdy/dx=2xとなるからdy=2xdx dx=dy/(2x)__⑨。
積分範囲はy=0~1となる。③に⑧⑨を入れると
∫[0 1]x/{(x^2)+2} dx__③
=∫[0 1]x/{(y)+2} dy/(2x)
=∫[0 1]dy/{y+2}dy/2
=(1/2)[log(y+2)] [0 1] =(1/2)[log(3)-log(2)]=(1/2)log(3/2) またはloge√1.5

lim[n→∞] {(4^n)-1}/{(2^(n+1))+3}__①
∫{dx/√(1-(x^2))} __②
∫[0 1]x/{(x^2)+2} dx__③ を求める。

(1)式①の分子と分母を2^n割る。
4^n÷2^n=2^nおよび2^(n+1)÷2^n=2を使うと
lim[n→∞] {(4^n)-1}/{(2^(n+1))+3}_①
= lim[n→∞] {2^n-1/2^n}/{2+3/2^n}
= lim[n→∞] {2^n}/{2}=∞/2=∞
(2)x=sinθの置換積分を行う。
∫{dx/√(1-(x^2))} __②
0≦x<1のときx=sinθ_④とすると、0<θ<π/2。
④をθで微分するとdx/dθ=cosθ_⑤ dx= cosθdθ_⑥
④⑥を②に入れると
∫{dx/√(1-(x^2))}_②
=∫{ cosθdθ/√(1-(sinθ)^2)}=∫{ cosθdθ/c...続きを読む

Q高校の数学についてです。 写真の情報だけでどうしてf(x)が連続で微分可能だと言えるのか教えてくださ

高校の数学についてです。

写真の情報だけでどうしてf(x)が連続で微分可能だと言えるのか教えてください。

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Q写真の積分の解き方教えてください!!

写真の積分の解き方教えてください!!

Aベストアンサー

x, y, z のそれぞれの変数に対し, どの範囲で積分するつもりで書いているのでしょうか?

少なくとも, 一番右の積分記号についている範囲はおかしいよね.

Q1辺の長さが3の正四面体OABCにおいて、 →OA=→a ,→OB=→b ,→OC=→cとする。 O

1辺の長さが3の正四面体OABCにおいて、
→OA=→a ,→OB=→b ,→OC=→cとする。
OAを2:1に内分する点をK、BCを1:2に内分する点をL、KLの中点をMとする。
(1)→OPを→b、→cを用いて表わせ。
(2)AM:MP
(3)直線OMが平面ABCと交わる点をQとする時、→OQを→a ,→b ,→cを用いて表わせ。

これらの問題を教えてください!お願いします!

Aベストアンサー

何が分からなくての質問なのですか? それをクリアにしないと、答だけ聞いても意味がありませんよ。
(1) ができて、(3)ができない理由は何なのでしょうね?

ちゃんと図は描いてみましたか?
図を描けば、そこにいろいろなヒントが見つかるし、頭の整理にもなります。

(1)
→OK = (2/3)→a
→OL = →OB + (1/3)→BC = →b + (1/3)( →BO + →OC ) = →b + (1/3)( →c - →b ) = (2/3)→b + (1/3)→c
→KM = (1/2)→KL = (1/2)( →KO + →OL ) = (1/2)( →OL - →OK ) = (1/2)[ (2/3)→b + (1/3)→c - (2/3)→a ]
   = - (1/3)→a + (1/3)→b + (1/6)→c
→OM = →OK + →KM = (2/3)→a - (1/3)→a + (1/3)→b + (1/6)→c = (1/3)→a + (1/3)→b + (1/6)→c

→AM = →AK + →KM = -(1/3)→a - (1/3)→a + (1/3)→b + (1/6)→c = - (2/3)→a + (1/3)→b + (1/6)→c

→AP = k・→AM とすると
→AP = - (2k/3)→a + (k/3)→b + (k/6)→c

従って
→OP = →OA + →AP = →a - (2k/3)→a + (k/3)→b + (k/6)→c = [(3 - 2k)/3]→a + (k/3)→b + (k/6)→c     ①
 
一方、P は平面OBC上にあるので
 →OP = m・→b + n・→c    ②
と書ける。

①②が恒等的に等しくなるためには
 3 - 2k = 0 → k=3/2
 m = k/3 = 1/2
 n = k/6 = 1/4

従って
 →OP = (1/2)→b + (1/4)→c

(2) 上記(1)より

→AP = (3/2)→AM

なので、
 AM:MP = 2 : 1

(3)同じように考えればよいです。

→OM = (1/3)→a + (1/3)→b + (1/6)→c
なので、
→OQ = s・→OM = (s/3)→a + (s/3)→b + (s/6)→c   ③
とします。
一方、
→OQ = →OA + →AQ
で、Q は平面ABC上にあるので
→AQ = p・→AB + q・→AC = p(→b - →a) + q(→c - →a) = -(p + q)→a + p・→b + q・→c
として
→OQ = →OA + →AQ = →a - (p + q)→a + p・→b + q・→c = (1 - p - q)→a + p・→b + q・→c    ④

③④が恒等的に等しくなるためには
 s/3 = 1 - p - q
 s/3 = p
 s/6 = q
より
 s = 6/5
 p = 2/5
 q = 1/5

よって
 →OQ = (2/5)→a + (2/5)→b + (1/5)→c

何が分からなくての質問なのですか? それをクリアにしないと、答だけ聞いても意味がありませんよ。
(1) ができて、(3)ができない理由は何なのでしょうね?

ちゃんと図は描いてみましたか?
図を描けば、そこにいろいろなヒントが見つかるし、頭の整理にもなります。

(1)
→OK = (2/3)→a
→OL = →OB + (1/3)→BC = →b + (1/3)( →BO + →OC ) = →b + (1/3)( →c - →b ) = (2/3)→b + (1/3)→c
→KM = (1/2)→KL = (1/2)( →KO + →OL ) = (1/2)( →OL - →OK ) = (1/2)[ (2/3)→b + (1/3)→c - (2/3)→a ]
   = - (1/3)→a +...続きを読む

Q複素数の平方根

複素数z=Rexp(jθ) の平方根は
√z=√Rexp(jθ/2)
位相角θの定義域にはどんな制限があるのでしょうか?例えばθ=225°と-135°ではそのまま代入すると結果が変わります。

Aベストアンサー

まず最初に、z=Rexp(jθ) の平方根は√Rexp(jθ/2)だけではありません。

z=Rexp(jθ)=Rcosθ+jRsinθ …(a)

2乗するとzになる複素数を√RcosX+j√RsinXとすると、
(√RcosX+j√RsinX)^2
= R(cosX)^2 - R(sinX)^2 + j2RsinXcosX
= R((cosX)^2 - (sinX)^2) + jR(2sinXcosX)
= Rcos2X + jR(sin2X) …(b)

ここで(a)と(b)の実部と虚部を比較すると

cosθ=cos2X, sinθ=sin2X …(c)

になります。
ここからが重要ですが、ラジアン角(位相角)に2Πを加算または減算しても(c)は成立します。
表記の都合上減算したとすると、

cosθ=cos(2X-2Π), sinθ=sin(2X-2Π) …(d)

(d)を変形すると
cosθ=cos(2X-2Π)=cos(2(X-Π)), sinθ=sin(2X-2Π)=cos(2(X-Π)) …(e)

ここでラジアン角同士を比較すると(c), (e)は

θ=2X
X=θ/2

θ=2(X-Π)
X-Π=θ/2
X=(θ/2)+Π

よって、z=Rexp(jθ)の平方根は、

√Rcos(θ/2)+j√Rsin(θ/2)=√Rexp(jθ/2)
√Rcos((θ/2)+Π)+j√Rsin((θ/2)+Π)=√Rexp(j((θ/2)+Π))

の2つになります。

前置きが長くなりましたが、位相角θの定義域は以下になります。
前提として0≦θ≦2Πとします。

√Rexp(jθ/2)の位相角θの定義域:0≦θ≦Π/2, Π≦θ≦3Π/2
√Rexp(j((θ/2)+Π))の位相角θの定義域:Π/2≦θ≦Π, 3Π/2≦θ≦2Π

まず最初に、z=Rexp(jθ) の平方根は√Rexp(jθ/2)だけではありません。

z=Rexp(jθ)=Rcosθ+jRsinθ …(a)

2乗するとzになる複素数を√RcosX+j√RsinXとすると、
(√RcosX+j√RsinX)^2
= R(cosX)^2 - R(sinX)^2 + j2RsinXcosX
= R((cosX)^2 - (sinX)^2) + jR(2sinXcosX)
= Rcos2X + jR(sin2X) …(b)

ここで(a)と(b)の実部と虚部を比較すると

cosθ=cos2X, sinθ=sin2X …(c)

になります。
ここからが重要ですが、ラジアン角(位相角)に2Πを加算または減算しても(c)は成立します。
表記の都合上減算したとすると、

cosθ=co...続きを読む


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