偏微分方程式（その３）

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=104706
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=106836
からの続きの第３問です。

『前問で求めたΦ(ξ)に対応する(*)式の解u(x, t)を求め、その特徴を簡単に述べよ。また、νの変化にともなう解u(x,t)の変化を説明せよ。』

まずu(x, t)ですが、

u = (∂Ψ/∂x) = (∂/∂x)(-2νlogφ) = -2ν(1/φ)(∂φ/∂x) = -2ν(1/Φ)Φ'(∂ξ/∂x)
= -2ν[-(c/2ν) e^{-(c/ν)ξ}] / [(1/2){e^{-(c/ν)ξ} + 1}]
= 2c / [1 + e^{(c/ν)(x-ct)}]

と求められた（合ってるかどうかは別）のですが、これの特徴をいえと言われても…。
νが変化するとuのx-ctに対する鋭敏さが変わってくるとかそういう事なのかなー？？
それじゃ答えになっていない気がしますし。

よく分かりません。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2001/07/21 12:10

最大の特徴は，u が x,t にバラバラに依存するのではなく，

x-ct というかたまりの形で依存していることでしょう．
つまり，ｔが増すに従って，ｘ対ｕの関数のグラフの形は形を変えずに
ｘ軸の正の方向に速度ｃで動いてゆくことになります．
ちょうど波動とと同じ事情で，
実際このｕが波動方程式
(1)　　(∂^2 u/∂t^2) = c^2(∂^2 u/∂x^2)
を満たすことは明らかです．
今は，進行波のみですから(1)でなくて
(2)　　(∂u/∂t) = - c(∂u/∂x)
を満たすといってもよい．

あとは，グラフの形くらいですかね．
ｚ=x-ct として，ν>0 なら
z → -∞ で u(z) → 1
z → ∞ で u(z) ～ 2c e^{-(c/ν)z}
という滑らかな変化ですね．

νの変化に対して？
簡単のため c>0 としておいて，
νの正負で様子が違いますよね．
νの正負はｘ対ｕのグラフを左右反転することになります．
νがゼロに近いと，上の滑らかな変化がだんだんきつくなりますね．
ν→ +0 では下の階段関数に移行します．

───┐
　　　│
　　　│
　　　└───

ν→ -0 なら，上の左右反転．

こんなところくらいでしょうか．

この回答へのお礼

ありがとうございます。

siegmundさんのご回答で十分だと思いますが、
(1)(2)でせっかくお付き合いいただいたのでblue_monkeyさんのお話もお聞きしたいのですが。

お礼日時：2001/07/22 01:58

No.2 回答者： noname#2380 回答日時： 2001/07/22 20:02

ｂｌｕｅ＿ｍｏｎｋｅｙです。

コメントが遅れまして申し訳ありません。
Siegmund氏がドンピシャで回答されていますので、ｂｌｕｅ＿ｍｏｎｋｅｙが
付け足すことは特にありません。

上のコメントだけだと少し寂しいので、この問題を考えたときに
ｂｌｕｅ＿ｍｏｎｋｅｙの思ったことを蛇足させていただきます。
（読み捨ててください）
**********************************************
**********************************************
(1)
「偏微分方程式（その２）」でｂｌｕｅ＿ｍｏｎｋｅｙはコメントさせてい
ただいたのですが、問題の式は非線形だったんですねぇ～。
（解の重ね合わせの原理が直接u(x,t)に適用できないと言うことですぅ。）
u(∂/∂t)u
の項がuに関して2次となっています。このため、u1,u2が解でもu1+u2は
u1(∂/∂t)u2
u2(∂/∂t)u1
のため、偏微分方程式を満たさないと言うことです。
（線形偏微分方程式で大活躍していたフーリエ級数、フーリエ変換の方法が使えなくなってしまいます。その代わりにまた違った解法が開発されているようです
（ｂｌｕｅ＿ｍｏｎｋｅｙの未知の世界）。）
(2)
パラメータcは、今回、新たに導入された変数ξ=x-c*tで導入されたものであり、元の偏微分方程式とは直接は関係はないですよねぇ～。
また、変数変換した、φの偏微分方程式は、線形偏微分方程式となり、φは重ね合わせの原理が適用できます。
(3)
この偏微分方程式問題を考えていたとき、ソ・リ・ト・ンというキーワードを頭によぎりました。
もしソリトンなら、パラメータcの異なる解φの重ね合わせで、階段関数の立ち上がりが二つあり、時間(t)の経過と共に、その立ち上がりが、ずんずんと離れ行ったり、追いついた後、ずんずんと離れていったりする解の構成が可能なのかなぁ～？と思ったのですが、まだその導出はできていません。
お猿さんの世界では切羽詰まった問題ではないので気が向いたらまた考えてみるつ
もりです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

上の文章を読んでぱっと理解できるほどtaropooは微分積分を理解していませんが
ゆくゆくは分かるように勉強していこうと思います。

siegmundさん、blue_monkeyさん、どうもありがとうございました。

お礼日時：2001/07/22 20:27